复变函数的应用

工程数学学习总结学院：学号：姓名：工程数学学习报告从柯西算起，复变函数论已有了150年的历史.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中.。物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很有影响。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分。复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对复杂函数的计算能力使得在GIS上的应用也不可或缺。GIS的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的地理实体。空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。而复变函数中的黎曼曲面理论就是用来解决这种问题的。复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。复变函数的应用主要包括两个方面：一个方面是在物理学中的应用；另一方面是在数学领域中的应用。1.物理学中复变函数在静电场中的应用复变函数在静电场问题中的应用：在电磁场的学习中，“静电场的标量位”中接触到了复变函数在静电场问题中的应用。即如果一个系统为场量和源量分布只与x和y有关的二维静电场系统。因为在二维无源区域内，静电位满足二维拉普拉斯方程，即我们发现，此时的点位是一个调和函数，通过复变函数的学习我们已经知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数，而且是一对共轭的调和函数。因此，我们可以使用复变函数这一数学工具来解决二维静电场问题。由此在电磁场中引出了复电位的概念，若则，只要利用解析函数应满足的柯西-黎曼条件，即就可以导出式（1）和（2），可以证明，实部函数和虚部函数的等值线族是相互正交的。由正交特性，可以将平面上的电场强度放在复平面上来考察，也就是可以将E(x,y)写成复数形式其中f(z)便是复电位的概念。这便是是通过与已知静电场问题的解相对比的计算方法来利用复变位可以反映静电场分布情况。如果有一些有复杂边界的静电系统，则不能通过这种对比方法来求复电位，这时便可以引入常用的保角变换，利用保角变换可以把一些具有复杂边界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统。（这里由于只是有限便不予详细说明。）2.数学中绕流问题的复变函数方法我们总是使用共形映射的方法研究一般剖面的绕流问题，特别是机翼剖面绕流问题，我们只要求出平面稳定绕流的复势，便可导出此绕流的速度分布，而要求出一般剖面绕流的复势，通常先计算対圆柱剖面绕流的的复势，然后再求一般剖面绕流区域到圆柱剖面外部区域的共形映射，把上述两个函数复合起来，便可得到对一般剖面环流的复势，这就是研究任意剖面绕流问题的基本方法。此外，我们还介绍机翼剖面外部共形映射到圆柱剖面外部的函数的近似计算方法以及具有自由边界的一般剖面绕流问题的处理方法。我了解到了渗流问题中的复变函数方法，所谓渗流就是流体（液体、气体、含气液体）在多孔介质里的流动。我们主要讨论不可压缩的液体如水与石油在各向同性匀质的土壤”中作平面稳定渗流的情形或作轴对称稳定渗流的情形。下面先把上述一些渗流问题化为复变函数的问题，然后使用共形映射与边值问题等方法来处理这些复变问题。一般弹性理论基本问题在解法上是比较复杂的，因此，常常较多地研究一些特殊的情形，其中最重要的一类就是所谓“平面弹性理论”或叫“弹性理论的平面问题”。我们将导出平面弹性理论的基本方程及其通解的复变函数表示式，然后介绍两种基本边值间题及圆内边值问题的幕级数解法。使用共形映射的方法，可以把一般区域上的基本边值间题转化到特殊区域的情况，从而把复杂间题化为较简便的间题来处理。3.关于学习复变函数的一些感悟在我的理解看来，复变函数可以看成是我们本科学习的高等数学的一种延伸与拓展。我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域都是在实数范围内的，而复变函数却延伸到了复平面上，从而拓宽了函数在实际中的应用范围。我的专业是材料加工工程，我的研究方向是“纳米纤维素Ni-NiO/TiO2光催化剂的性能及应用的研究”。虽然复变函数在我们学科的实际应用中涉及的范围很小，但是在电力，通信，土木工程等方面的计算和问题中却起到了非常重要的作用。在这门课程中，我们学习了复变函数的定义、微分、积分、级数以及留数的内容，同时还学习了基本变换中的傅里叶变换和拉普拉斯变换，从概念、应用、计算技巧等方面都有了初步的、全面的学习和理解。复变函数无论是在概念上还是在结论上都非常的精确，虽然总结和归纳了很多的定理和方法，有很多的理论性知识，但是每一个定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。这就避免在使用其求解相应问题时因出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误的情况发生。比如比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，同时该闭路路径是区域D内的路径且包含所有的奇点。只有当函数以及积分满足上述所有条件时，才能够对这一积分使用留数定理求解，否则结果与实际结果将完全不符。此外，复变函数在许多相似概念的区分上也相当精确之处。例如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。连续是指：设函数w=𝑓(𝑧)定义在𝑧0的一个邻域U(𝑧0,𝜌)中，若lim𝑧→𝑧0𝑓(𝑧)=𝑓(𝑧0)，则称f(z)在𝑧0处连续。可导是指设函数w=f(z)定义于区域D，点𝑧0、𝑧0+∆𝑧ϵD。若极限lim∆𝑧→0∆𝑤∆𝑧=lim∆𝑧→0𝑓(𝑧0+∆𝑧)−𝑓(𝑧0)∆𝑧存在，则称𝑓(𝑧)在𝑧0处可导。若函数𝑓(z)在区域D内处处可导，则称𝑓(z)在D内可导。而解析函数则是指，若函数w=𝑓(𝑧)在点𝑧0∈𝐶及其一个邻域内处处可导，则称𝑓(𝑧)在点𝑧0处解析。若𝑓(𝑧)在区域D内处处解析，则称𝑓(𝑧)在D内解析，此时也称𝑓(𝑧)是D内的一个解析函数。由此，在复变函数的研究和学习中，要精确的把握每一个概念的具体使用要求与条件，不可混淆，更不可错记。复变函数在结果的精确程度上也有着相当高的要求。在绝大部分问题上，复变函数的求解结果都是一个代数式或者函数式。计算过程中的每一个步骤都是严格按照数学上的公理以及定理进行推导和演算的，不存在任何意义上的误差。而我的困惑所在是，为了解决一些问题，我们常常用到极限的思想，在我认为这会大大降低结论的准确性。而极限又是级数应用的重要部分，对于某些特定的复杂的函数问题，如果我们不采用级数方法对其进行研究，我们几乎无法获得函数的一些性质与特性，甚至我们连它的导数和积分都无法求得，更不用说应用这些函数来解决工程上的实际问题了。对于热爱数学的人而言，数学最大的魅力就是其无与伦比的技巧之美吧。将复杂问题简单化，一向是我们解决问题的惯用思想。一道看似十分繁琐复杂函数问题，可以经过几个简单的变量代换和函数变化，被简化为十分简单常见的基本的初等函数问题，是一个很神奇的过程。极大地提高了我们在解决具体问题时的效率。复变函数在技巧方面的特点也是显而易见的，用苏老师常说的一句话就是，这是很完美的，这些结论是很自然就得出来的，每一个函数的解题过程都是很有意思的。尤其是在解决一些积分、微分问题时我们使用的各种积分变换的方法，将数学解题中的灵活的技巧之美表现地淋漓尽致。先将原来形式下的数或函数变换为另一形式，或者说变换为它的象，然后根据积分变换的一些性质对它的象进行相应的运算，得到象运算的结果。最后在运用原变换的逆变换得到原来形式下的正确计算结果，从而达到简化计算的目的。而这正是积分变换的根本思想核心之所在。在本学期学习的积分变换中主要包括了傅里叶变换和拉普拉斯变换两种，前者使用时较为简单，但是由于成立条件较为苛刻，其适用范围相对较为狭窄。而后者的使用条件则宽泛了许多，在众多复杂的工程问题中都可以见到拉普拉斯变换的身影。通过拉普拉斯变换及其卷积定理，我们可以将一些原本十分复杂的积分问题转化为简单的形式进行求解。在复变函数的积分运算中，除了利用相应的积分变换可以使计算大幅简化之对于留数的运用也是简化计算的常用方法。留数是在奇点和洛朗展开式的基础上的一个定义，其定义为：设为()的孤立奇点，我们把f(z)在的去心邻域内洛朗展开式的两端沿C逐项积分留下的积分值除以后得到的数称为f(z)在处的留数，记作Res[f(z),]。留数的应用中最为常见的就是利用留数定理来求解相应的环路积分。留数定理是指：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包含所有起点的任意正向简单闭曲线，则有∮()=∑[(),]利用这一定理，我们可以很简便地求出一些环路积分的积分值，比如下面这个例题。例2.计算积分∮−，C为正向圆周||=。解：由于()=−有两个一级极点=，而且它们都在圆周||=内，所以有∮−={[(),]+[(),]}。又由[(),]=|=。[(),]=|−=−因此有∮−=(+)=由此我们不难发现，运用留数定理来解决积分问题就避免了寻找一些复杂函数的原函数这一繁琐的过程，在满足运用留数定理的条件下，找出被积函数的奇点，并求出其留数，根据留数定理，很容易就求出了相应的积分值。根据查阅资料来看，在绝大多数工程学科中，涉及有流体力学、电磁学、热学和弹力理论等等问题时，都会应用到复变函数。这就说明复变函数是一门很接地气的学科，不像有些繁琐的数学问题那样高深难懂、又脱离实际，不被用来解决实际问题。这门学科将理论与实践完美的结合在了一起，来解决一系列的工程问题。