试题六(有效约束-回归分析区间估计-迭代法收敛域)讲解

数学实验试题2003.6.22上午班级姓名学号得分说明：（1）第一、二、三题的答案直接填在试题纸上；（2）第四题将数学模型、简要解题过程和结果写在试题纸上；卷面空间不够时，可写在背面；（3）考试时间为90分钟。一．（10分，每空2分）（计算结果小数点后保留4位有效数字）某两个地区上半年6个月的降雨量数据如下（单位：mm）：月份123456地区A259946337054地区B105030204530（1）在90%的置信水平下，给出A地区的月降雨量的置信区间：[32.3576.65]x=[259946337054];[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,0.1)输出结果：muci=32.34821112010391276.651788879896088（2）在90%的置信水平下，A地区的月降雨量是否不小于70（mm）？是H0：μ≥70x=[259946337054];[h,sig,ci]=ttest(x,70,0.1,-1)输出结果：h=0（3）在90%的置信水平下，A、B地区的月降雨量是否相同？否x=[259946337054];y=[105030204530];[h,sig,ci]=ttest2(x,y,0.1)输出结果：h=1（4）A地区某条河流上半年6个月对应的径流量数据如下（单位：m3）：110，184，145，122，165，143。该河流的径流量y与当地的降雨量x的线性回归方程为y=91.12+0.9857*x；若当地降雨量为55mm，该河流的径流量的预测区间为[130.9159.7]（置信水平取90%）。y=[110184145122165143];x=[259946337054];n=6T=[ones(n,1),x'];[b,bint,r,rint,s]=regress(y',T);b,bint,s,rcoplot(r,rint)输出结果：b=91.1150186181215960.985657150737830少量数据回归分析区间预测：y=b0+b1*x%预测区间函数M文件源程序：functiony30=guessless(x0,x,s2,b0,b1,alpha)s=sqrt(s2);%将s2开方即得xx=mean(x);%x的均值sxx=(length(x)-1)*var(x);y0=b0+b1*x0;y30=[y0-tinv(1-alpha/2,length(x)-2)*s*sqrt((x0-xx)^2/sxx+1/length(x)+1),y0+tinv(1-alpha/2,length(x)-2)*s*sqrt((x0-xx)^2/sxx+1/length(x)+1)];%利用（30）式预测区间%预测55mm降雨量对应河流径流量所在区间源程序(需要先运行回归程序！)x=[259946337054];y55=guessless(55,x,s(4),b(1),b(2),0.1)输出结果：y55=1.0e+002*1.3091859069626431.597337331211401还可以应用POLYTOOL命令：y=[110184145122165143];x=[259946337054];Polytool(x,y,1,0.1)输出结果：二．（10分）（1）（每空1分）给定矩阵34,133212bA，如果在可行域}0,|{xbAxx上考虑线性函数xcT，其中Tc)1,1,4(，那么xcT的最小值是2.2，最小点为(0,0.4,1.8)；最大值是3.5，最大点为(0.5,0,1.5)。决策变量：x1；x2；x3；目标函数：Z=4*x1+1*x2+1*x3约束条件：2*x1+1*x2+2*x3=43*x1+3*x2+1*x3=3基本模型：max/min(z)=4*x1+1*x2+1*x3s.t.2*x1+1*x2+2*x3=43*x1+3*x2+1*x3=3x1,x2,x30优化程序(线性)：c=[411];A2=[212;331];b2=[43];v1=[000];[x,z,ef,out,lag]=linprog(c,[],[],A2,b2,v1)[x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,[],[],A2,b2,v1)输出结果：x=0.00000.40001.8000z=2.2000x=0.50000.00001.5000z=-3.5000（2）（每空2分）给定矩阵TA4011211104，Tb)1,3,4,2,1(，考虑二次规划问题}0,|4244)({min21222121xbAxxxxxxxxf，其最优解为(2.5556,1.4444)，最优值为-10.7778，在最优点处起作用约束为x1+x2≤4。H=[2-4;-48];A1=[-42;01;11;10;1-4];c=[-2-4];b1=[12431];v1=[0,0,0];[x,f,ef,out,lag]=quadprog(H,c,A1,b1,[],[],v1)lag.eqlin%等式约束lag.ineqlin%不等式约束lag.upper%上界约束lag.lower%下界约束输出结果：x=2.55561.4444f=-10.7778ans=Emptymatrix:0-by-1ans=002.666700ans=00ans=00有效约束判断方法：1)lag函数值中非零项对应的约束条件为有效约束！2)教材P179有效约束的定义也可判断！三．（10分）对线性方程组：bAx，其中Ａ＝1,,,1,,,1aaaaaa，b=321(1)（3分）当21a时，用高斯—赛德尔迭代法求解bAx。取初值为Tx0,0,00，写出迭代第4步的结果4x=(-1.05661.07712.9897)。迭代法解线性代数方程组A1=ones(3,3);A=0.5*A1+diag(diag(0.5*A1));D=diag(diag(A));%从稀疏矩阵A中提取DL=-tril(A,-1);%从稀疏矩阵A中提取LU=-triu(A,1);%从稀疏矩阵A中提取Ub=[123]';%设定方程组右端项向量x=zeros(3,1);%设定方程组初始向量e=10^(-5);%给定迭代误差m=inv(D-L)*U;n=inv(D-L)*b;%高斯-赛德尔迭代法forj2=1:4y=m*(x(:,j2));fori=1:3x(i,j2+1)=y(i,:)+n(i,:);endifnorm(x(:,j2+1)-x(:,j2))=e;breakendendt2=x(:,end)%输出迭代法最终结果j2%输出迭代次数t2=-1.05661.07712.9897(2)（4分）当21a时，用Jacobi迭代法求解bAx是否收敛？_____否_____,理由是__迭代矩阵的谱半径等于1_____。迭代法收敛性充要条件：谱半径ρ(L)1雅可比迭代发的迭代公式htLxtx)()1(中矩阵L=inv(D)*(L+U);在此情况下，eig(inv(D)*(L+U))的输出结果为：ans=-1.00000.50000.5000此时谱半径为以上各值绝对值的最大值！故ρ(L)=1，不收敛！(3)（3分）求最大的c,使得对任意的ca,0，用高斯—赛德尔迭代法求解bAx一定收敛，则c应为_____1_____。c=1.（备注：可求出原矩阵A的特征值为1-a和2a+1;利用正定性质得结果。）系数矩阵对称正定，则高斯-赛德尔迭代法收敛！四．（20分）一个二级火箭的总重量为2800公斤。第一级火箭的重量为1000公斤，其中燃料为800公斤。第一级火箭燃料燃烧完毕后自动脱落，第二级火箭立即继续燃烧。第二级火箭中的燃料为600公斤。假设火箭垂直向上发射，两级火箭中的燃料同质，燃烧率为15公斤/秒，产生的推力为30000牛顿。火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4公斤/米。（1）建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求第一级火箭脱落时的高度、速度和加速度；（2）建立第二级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求火箭所有燃料燃烧完毕瞬间的高度、速度、和加速度。（提示：牛顿第二定律f=ma，其中f为力，m为质量，a为加速度。重力加速度9.8米/平方秒。）模型及其求解：(1)建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型:火箭质量m随时间t的变化关系函数为：280015(160/3)mtt火箭在时刻t所受合外力F为：2025601470.4(160/3)FFfmgtvt火箭在时刻t的加速度a为：22225601470.4(160/3)280015dvdhtvatdttdt初值满足：h(0)=0;v(0)=0%火箭运行情况模型常微分方程组函数M文件源程序：functiondx=rocket11(t,x)dx=[x(2);(2560+147*t-0.4*(x(2)^2))/(2800-15*t)];%火箭加速度函数M文件源程序：functiony=a11(ts,x)fori=1:length(ts)y(i)=(2560+147*ts(i)-0.4*x(2,i)^2)./(2800-15*ts(i));end%应用龙格-库塔方法对火箭运行情况模型的常微分方程组求数值解：ts=0:1/3:160/3;j=length(ts);x0=[0,0];[t,x]=ode45(@rocket11,ts,x0);%火箭运行高度与速度情况y=a11(ts',x(:,2)');%火箭运行加速度情况[ts',x(:,1),x(:,2),y']a=(2560+147*ts(j)-0.4*x(j,2)^2+200*9.8)./(2800-15*ts(j)-200)输出结果：t=0.053333333333333h=2619.970380776275v=114.628140679963a=2.572077872851a’=3.946753192056594计算结果：第一级火箭燃烧完毕瞬间：t=53.333秒，高度：2620.0(米)，速度：114.6米/秒，???????????????????????加速度：5.2米/平方秒。(2)建立第二级火箭燃烧时火箭运行的数学模型火箭质量m随时间t的变化关系函数为：180015(040)mtt火箭在时刻t所受合外力F为：20123601470.4(040)FFfmgtvt火箭在时刻t的加速度a为：222123601470.4(040)180015dvdhtvatdttdt初值满足：h(160/3)=2260;v(160/3)=114.6%火箭运行情况模型常微分方程组函数M文件源程序：functiondx=rocket12(t,x)dx=[x(2);(12360+147*t-0.4*x(2)^2)/(1800-15*t)];%火箭加速度函数M文件源程序：functiony=a12(ts,x)fori=1:length(ts)y(i)=(12360+147*ts(i)-0.4*x(i)^2)./(1800-15*ts(i));end%应用龙格-库塔方法对火箭运行情况模型的常微分方程组求数值解：ts=0:1:40;j=length(ts);x0=[2620,114.6];[t,x]=ode45(@rocket12,ts,x0);%火箭运行高度与速度情况y=a12(ts',x(:,2)');%火箭运行加速度情况[ts',x(:,1),x(:,2),y']a=(-11790-0.4*x(41,2)^2)./1200输出结果：t=40.00+53.333=93.333sh=9400.4mv=205.2m/sa=1.1671m/s2燃烧完毕后瞬间：v=205.2a=(-11790-0.4*(v^2))./1200=-23.858计算结果：第二级火箭燃烧完毕瞬间：t=93.