第2章-平稳过程习题答案

1第二章平稳过程1．指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？（1）设随机过程XtetX)(，t0，其中X具有在区间),0(T中的均匀分布解：∵该随机过程的数学期望为∴该随机过程不是平稳过程。（2）设随机过程}),({ttX在每一时刻的状态只取0或1数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对任意固定的t有1}0)({}1)({ptXPptXP其中10p解：∵该随机过程的数学期望为ptXPtXPtEXtmX}0)({0}1)({1)()(（常数）该随机过程的自相关函数为：}0)()({0}1)()({1)]()([),(tXtXPtXtXPtXtXEttRX2}1)({}1)({ptXPtXP结果与t无关∴该随机过程是平稳随机过程。（3）设}1,{nXn是独立同分布的随机序列，其中jX的分布列为jX1-1，j=1,2,…P2121定义njjnXY1，试对随机序列}1,{nYn，讨论其平稳性。解：∵0211211}1{)1(}1{1jjjXPXPEX∴njjnjjnEXXEEY110)(（常数）又因为随机序列nY的自相关函数。njmnkkjYXXEmnYnEYmnnR11)()(),(m为自然数TTtTxtxtxconsteTteTtdxTetEXtm00]1[111)()(2njnkmnkkjjXXXE111njmnkkjnjjnjmnkkjnjjXXEXEXXXE11211121njmnkkjnEXEXEY112nnnnDYEYDYEY22)(∵njnjnjjjjjnjjnnpEXEXEXDXXDDY1112221)(即)(),(mRnpmnnRYY∴该随机过程不是平稳过程。（4）设随机过程ttAtX),cos()(0，其中0为正常数，,A是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上均匀分布，而服从在区间[0，2]上的均匀分布。解：∵1020000)cos(211)]cos([)()(dtdatAEtEXtmx（常数）而自相关函数为：0002cos61)])(cos()cos([)()(),(ttAEtXtEXttRX∴该随机过程是平稳随机过程。（5）设随机过程tttX,cos)(，其中在区间)21,21(00中服从均匀分布。解：随机变量的概率密度为其它0)21,21(1)(00f∴)0(sin1cos1)(212121210000ttttdtEXtmxttt0cos)2sin(2不是常数∴该随机过程不是平稳过程。（6）设有随机过程tYtXtX,)(，而随机向量),(YX的协旗阵为2221rr解：∵tEYEXYtXEtEXtmx)()()(当0t时)(tmx不是常数3∴该随机过程不是平稳随机过程。（7）设有随机过程tZtYtXtX,)(2，其中X，Y，Z是相互独立的随机变量，各自的数学期望为0，方差为1。解：∵0][)()(22EZttEYEXZtYtXEtEXtmx（常数）22222)()(1)()(ttttEZttEYttEX自相关函数)(),(xxRttR∴该随机过程不是平稳随机过程。（8）设有随机过程XtX)(（随机变量），则2,DXaEX。解：∵aEXtEXtmx)()(（常数）)()()()(),(2222xxRaEXDXEXtXtEXttR∴该随机过程是平稳随机过程。2．设随机过程UttXsin)(，其中U是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。试证（1）若Tt，而},2,1{T，而},2,1),({ttX是平稳过程；（2）若Tt，而),0[T，而}0),({ttX不是平稳过程。证明：（1）∵该随机过程UttXsin)(的数学期望为0]12[cos21cos21sin21)()(2020ttvttvtdvtEXtMx（常数）)](sin[sin)()(),(mtVVtEmtXtEXmttRx0)2sin(2141sin141)2cos(2121cos2121)2cos(21cos21)]2cos([cos2120202020vmtmtmvmvdvmtmvdvVmVtEmVEvmVtmVE∴},2,1),({ttX是平稳随机过程。（2）∵)},0[),({ttX的数学期望为2020cos21sin21sin)()(vttvtdvVtEtEXtmx]2cos1[21tt不是常数∴]},0[),({ttX不是平稳过程。)])()()([()]()([),(2tZtYXZtYtXEtXtXEttRX])()()()()()([222222ZttYZttXZYZttYtttXYXYtXZtXE43．设随机过程ttAtX),cos()(0其中0是常数，A与Φ是独立随机变量。Φ服从在区间（0，2π）中的均匀分布。A服从瑞利分布，其密度为000)(2222xxexxfx设随机过程ttCtBtY,sincos)(00，其中B与C是相互独立正态变量，且都具有分布N（0，2）。（1）试证)(tX是平稳过程证明：对于随机过程)cos()(0tAtX的数学期望为)cos()cos()()(00tEEAEAtEXtmx0200220)cos(2122dtdxexxx（常数）自相关函数)]cos()cos([)()(),(0002ttAEtXtEXttRx)]cos()[cos(0002ttEEA)]22cos([cos21)]cos()[cos(000000tEttE)22cos(21)(cos21000tEE000200cos21)22cos(2121cos21dt022022222222xxdexdxexxEA022020222222222)(dxxexdeexxxxdxedxexx02220222222)(220222222xe5∴0202coscos212),(ttRx∴该随机过程为平稳随机过程。（2）用本章例4说明Y(t)是平稳过程证明：∵0DCDB0)()(2cEBE根据例4，随机过程Y(t)是平稳随机过程。4．设S(t)是周期为T的周期函数，而是在区间（0，T）上的均匀分布的随机变量，随机过程ttStX),()(称为随机相位周期过程。试问X(t)是否为平稳过程，又问它是否具有各态历经性解：∵TttTTxduuSTduuSTutdtSTtEXtm00)(1)(1)(1)()(（周期函数性质）∴TxduuSTtm0)(1)(常数又∵)]()([)()(),(tStSEtXtEXttRxTTttduSuSTdtStST0)()(1)()(1∴)()(tStS的周期也为T。∴TttTxxRduuSuSTduuSuSTttR0)()()(1)()(1),(∴)()(tStX是平稳随机过程。再讨论随机过程X(t)的各态历经性∵lllllldttXldttXltX)(21lim)(21lim)(llldttSl)(21lim5．设}),({ttX是随机相位周期过程，它的一个样本函数)(tX如下图所示。周期T和振幅a都是常数，相位0t是区间（0，T）上的均匀分布，求)(tEX解：根据上图，得TttTtTttTtTTttaTtttTttatX000000004,048,/)4/(88,/)(8)(则84800000000/)4(8)1(1/)(81)]([TttTtTtTdtTttaTTdtttaTtXE6804822081)4(88TTTaduTTuauduTautt6．随机过程)cos()(0tAtX其中A和Φ是相互独立的随机变量，而Φ在区间（0，2π）上均匀分布，试问X(t)是否具有各态历经性解：∵)cos()]cos([)(00tEEAtAEtEX0)sin(2121)cos(200200tEAdtEA（常数）)]cos()cos([)]()([),(000tAtAEtXtXEttRx)]cos()[cos(0002ttEEA]cos)22[cos(210002tEEA0002cos)22[cos(21tEEA200002cos21)22cos(2121dtEA020002cos21)22sin(212121tEA)(cos2120xREATTxxdEATdmRT2020202cos2121)(21TTTdTdtEAdTEA20202000202cos21cos21cos2121TTdtEA200020002sin21|sin121|)sinsin(212sin1212002000002|dTTEAT=)cos1sin(212sin21|20000020TTTTTEA=)12cos1sin(212sin210000020TTTTTEA7=)212cos21sin212sin210000020TTTTTEATxXdmRTT202T])([211lim02122cos2sin2sin21020200020limTTTTTTTwEAT∴该平稳过程具有数学期望各态历经性。下面讨论相应函数的各态历经性。令)()()(tXtXtY（固定）由于A与相互独立，则有)]()()()([)()()(1111tXtXtXtXEtYtEYB)]cos()cos()cos()cos([10001000004