西南交大考研结构力学总复习

1复复习习2矩阵位移法矩阵位移法矩阵位移法结结构构的的离离散散化化和和数数据据化化单单元元分分析析结结构构的的整整体体分分析析边边界界条条件件处处理理等等效效结结点点荷荷载载单单元元杆杆端端力力计计算算计算步骤和程序框图单元单元分析分析整体整体分析分析单元单元分析分析结构结构离散化离散化3基本要求：了解了解矩阵位移法与位移法的异同；掌握掌握矩阵位移法的分析步骤。熟练掌握熟练掌握单元刚度矩阵元素的物理意义；熟练掌握熟练掌握单元刚度矩阵的形成和坐标变换的概念；熟练掌握熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集成过程；熟练掌握熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程；熟练掌握熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的求矩阵位移法矩阵位移法★★★★★4注意：单元分析中的杆端力~杆端位移整体分析中的结点力~结点位移与坐标有关对于平面杆系结构，常用的坐标系有三种：结构坐标系整个结构统一的坐标系局部坐标系单元坐标系yox5坐标系示例②23②236①xyy②2x7一一..单元分析单元分析{}[]{}eeeTδδ=1.单元刚度方程表示什么量之间的关系方程?2.单元刚度矩阵(自由式单元)是什么样的矩阵?23k3.单刚元素的物理意义是什么?4.坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵?5.局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有何关系?6.单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗?7.试写出自由式单元坐标转换矩阵.82/2)45sin(2/2)45cos(1211−=−==−=DDTT8.求图示结构2单元的坐标转换矩阵中的元素1211,TT[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosααααααααeT12aaa右手系224522451211/)sin(/)cos(====DDTT左手系9T100110000110011T100110000110011①②，=−−⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=−−−−−−⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥221221lllxy①②例、图示结构各单元的坐标变换矩阵为：(O)答案：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosααααααααeT(1)45α=D(2)135α=D10例：图示自由式单元的刚度矩阵(6×6)中，第二列元素的物理意义是当该单元的六个。(用u、v、ϕ竖向和转角位移)ij分别表示水平、1=iv杆端力时，11杆端力和杆端位移的关系⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ek1vδi2==ij26lEI26lEI312lEI312lEI03l12EI2l6EI03l12EI−2l6EI1δ2=12局部坐标系中的单元刚度矩阵的性质：1．对称性(e)ml(e)lmkk=平面刚架、桁架单元是自由式单元，单元的位置是不确定的，也就是说在已知平衡外力作用下，由单元刚度方程不可能求得唯一确定的位移。2．奇异性13例1.因为自由式单元(6×6)的单元刚度矩阵是奇异矩阵，所以不能在已知___________时应用单元刚度方程求__________。单元杆端力杆端位移2.单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。()对称性均有，但和奇异性不是所有单元有。X14例、连续梁单元的刚度矩阵是奇异矩阵。[]k[]kEIlEIlEIlEIl=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥4224xyM,θ(X)答案：由于连续梁单元是无刚体位移的，它的单元刚度矩阵是非奇异的。15建立结构的结点力和结点位移间的关系式——结构总刚度方程，即矩阵位移法的基本方程并求解，这就是所谓的整体分析。二、整体分析KΔF=FKΔ1−=(1)Δ支座约束先处理支座约束后处理(2)K形成(3)F形成Δ阶数不同KF结构刚度矩阵原始刚度矩阵16例„图示结构，不考虑轴向变形，求结构刚度矩结构刚度矩阵阵。K支座约束先处理支座约束先处理13×Δ13×F33×K17例„图示结构，不考虑轴向变形，求结构刚度矩阵。K19×Δ19×F99×K支座约束后处理支座约束后处理原始刚度矩阵结构刚度矩阵18方法1：„图示结构，不考虑轴向变形，求结构刚度矩阵。K2136m6mii(1,0,2)(1,0,3)(0,0,0)①②xyM,θ19①单元的单元刚度矩阵[]000001/3101/31014012000001/3101/31012014ki①=∞−∞−−−∞∞−−−−−⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥1021031021032136ii(1,0,2)(1,0,3)(0,0,0)①②y[]333231232221131211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=KKKKKKKKKK123123422420②单元的单元刚度矩阵[]13011301000010410213113010000102104ki②=−∞−∞−−−−−∞∞−⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥///0/000102000102213ii(1,0,2)(1,0,3)(0,0,0)①②y[]333231232221131211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=KKKKKKKKKK1231231/3-1-1421不考虑轴向变形的结构刚度矩阵[]Ki=−−⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1018202413/[]333231232221131211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=KKKKKKKKKK12312322方法2：用位移法求结构刚度矩阵2136m6mii(1,0,2)(1,0,3)(0,0,0)①②xyM,θ1Δ2Δ3Δ23用位移法求结构刚度矩阵2136m6mii(1,0,2)(1,0,3)(0,0,0)①②xyM,θ11=Δi11k21k31k⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=420281013/1iK24例„求图示结构原始刚度矩阵的元素。4544K,K2134AIIll①②③2134(1,2,3)(10,11,12)(7,8,9)(4,5,6)(4,5,0)①②③(7,8,0)xyM,θ)2(44)1(44kk+=44K)2(45)1(45kk+=45K25[][]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−==l4EI0lEAl6EI0l12EIl2EI0l6EIl4EI0lEA00lEAl6EI0l12EIl6EI0l12EIkk2322323称对①③134562123456已知①、③单元整体坐标系的单元刚度矩阵为2134(1,2,3)(10,11,12)(7,8,9)(4,5,6)(4,5,0)①②③(7,8,0)264544K,K)2(44)1(44kk+=44K312EIEAll=+)2(45)1(455kk+=4K00=+2134(1,2,3)(10,11,12(7,8,9)(4,5,6)(4,5,0)①②③(7,8,0)272134(1,2,3)(10,11,12)(7,8,9)(4,5,6)(4,5,0)①②③(7,8,0)xyM,θlEAlEI+=31244K005+=4K13EI12llEA11010方法方法2228例:用先处理法求图示刚架的结构刚度矩阵[]K只考虑弯曲变形。EIEIEIEI=oolllxyM,θ(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,0)(1,0,0)(1,0,0)234165①②③1Δ29(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,0)(1,0,0)(1,0,0)234165①②③1Δ11=Δ12l12i[][][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===333213612lEIKlEIkkk30[]K[]eekkkkk⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211[]K[]66=K[][][](6)(8)(5)222211kkk++12345678①②③④⑤⑥⑦⑧xyM,θ；图示刚架考虑弯曲变形及轴向变形时的结构原始刚度矩阵是阶。若以子块表示的整体坐标系的各单元刚度矩阵已知为,则的子块答案：24例：31uivi32i−31i−平面刚架结构原始刚度矩阵中结点i的位移分量、对应的行、列码是，答案：例：32例：图示结构整体坐标系以子块形式表示的单元刚度矩阵为：[]KKKKKeiiijjijje=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥KKKKKKKK11111213212231330①②②①②②①①+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥0()312①②，则结构刚度矩阵为：X33Δ1K11123EIl/243EIl/483EIl/363EIl/ll(0,0,0)(0,0,0)2EIEIEI(1,0,2)(1,0,3)22341xyM,θ例、图示刚架只考虑弯曲变形，括号中数字表示各结点位移编号，与结点位移相对应的结构刚度矩阵中元素的值为：A．B．C．D．(C)答案：11Δ=11K1324EIl34例求图示桁架结构刚度矩阵结构刚度矩阵有1个元素2m3m3mABCDEAEAEAxyM,θ3211EAK=K11其数值等于:lEA11=δlEA35例试求结构原始刚度矩阵中的子块的4个元素。[]K22321①②③xyM,θ4[][][][])3(22)2(22)1(2222kkkK++=36已知各杆件在整体坐标系中的单元刚度矩阵为：,000001000100000001000100⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−==②①kk⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−=64486448483648366448644848364836③k321①②③xyM,θ4[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=64484823622K)1(22k)2(22k)3(22k37例图示结构，图中圆括号内数码为结点定位向量(力和位移均按竖直，转动方向顺序排列)。求结构刚度矩阵[K]中元素KK1112,2m2m2i(0,0)(1,2)(0,3)ixyM,θKi119=,Ki123=2iii6i312K11K38例图示连续梁，只考虑杆件的弯曲变形，用先处理法形成结构刚度矩阵[]K4EIi=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211KKKKKKKKKKi4i20ii84+i2i4i8i4039[]KBDCAEFxyM,θ(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(0,0,1)(0,0,2)(0,0,3)(0,0,4)(0,0,0)单位结点位移编码如图，设iEIl=35648712③④⑤①②例、按先处理法计算图示结构的刚度矩阵。各杆长度为l，EI等于常数，只考虑弯曲变形的影响。[]123420080001234总码对称Kiiiii=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥844答案：2i008i004i04i40例：qll21432xyM,θxy060622Tqlqlqlql⎡⎣⎢⎤⎦⎥060622T−−−⎡⎣⎢⎤⎦⎥qlqlqlqlqlqlqlql00T2266−⎡⎣⎢⎤⎦⎥qlqlqlql00T−⎡⎣⎢⎤⎦⎥2266A．B．C．D．。图示刚架对应结点1、2的等效结点荷载列阵为：(D)答案：qlql26ql26qlql26qlql26qlqlqlqlql00T−⎡⎣⎢⎤⎦⎥226641例试求图示结构在所示位移编码情况下的综合结点荷载列阵{}P。l/2l/2l/2l/2lql(0,0,1)(0,0,2)(0,0,3)(0,0,4)qql(0,0,0)ql2qlxyM,θ0123412ql212ql2ql82ql82ql42{}Pqlqlqlql=−−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪2222242524248////ql(0,0,1)(0,0,2)(0,0,3)(0,0,4)qq(0,0,0)ql2ql0123412ql212ql282ql82qlql12ql282ql12ql282ql43例„按先处理法求图示结构的结点荷载列阵。只考虑弯曲变形，各杆EI=常数。4kNm4m46kN/m3kNm41652345kN20kNm.xyM,θ44(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(1,0,4)(1,0,2)①④⑤②③123456⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=8122ql122ql{}⎪