第五节-广义积分

二、无界函数的广义积分第五节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分广义积分(反常积分)广义积分（ImproperIntegrals)第五章基本问题：中在定积分dxxfba)(（1）积分区间[a,b]为有限区间；（2）f(x)连续，或有界且间断点的个数为有限个。（1）将定积分的概念推广至积分区间为无限区间；（2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积21xyA1可记作12dxxA其含义可理解为bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1定义1.设,),[)(aCxf,ab取若存在,则称此极限为f(x)的无穷限广义积分,记作这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若,],()(bCxf则定义,),()(Cxf若则定义xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.,并非未定型,说明:上述定义中若出现它表明该广义积分发散.收敛xdxf)(都收敛与ccxdxfxdxf)()(通常取c=0.引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛–莱公式的计算表达式:xxfad)()(xF)()(aFFxxfbd)()(xF)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF广义积分的计算分两步：axdxf)(（1）计算正常积分：taxdxftI)()(（2）求极限：tattxdxftI)(lim)(lim例1.计算广义积分解:]arctan[x)2(2xoy211xy21dxx021dxx201dxx0211aalimdxx2011bblimdxx0aalimarctanx0bblimarctanxalimarctanablimarctanb22.或思考:分析:原积分发散!注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例2.计算广义积分解:2211sindx.xx2211sindxxx211sindxx211bblimsindxx21bblimcosx12blimcoscosb.1例3.证明第一类p积分证:当p=1时有axlnappx11当p≠1时有1p1p,11pap当p1时收敛;p≤1时发散.,因此,当p1时,广义积分收敛,其值为;11pap当p≤1时,广义积分发散.例4.计算广义积分解:tpept原式0d1teptptpep2121p例5：计算21arctanxdxx方法一：两个不同类型函数乘积的广义积分，可考虑用分部积分法。12arctanxdxx)1(arctan1xdx1arctanxx)arctan(11xdx412)1(1xdxx412)11(xdxxx412)1(ln21lnxx4121lnxx42ln21其中，12)11(xdxxx2ln212111x()dxxx11dxx211xdxx×1[lnx]2112ln(x)2111x()dxxx122ln思考题：指出下面解题过程的错误22111121d(x)x1[lnx]不存在或发散例5：计算12arctanxdxx方法二：先换元，消去反三角函数令uarctanx,则xtanu,2dxsecudu,21arctanxdxx2422usecudutanu242ucscudu24udcotu正常积分24[ucotu]24cotudu424[lnsinu]42ln21,1时当x4u,,时当x2u,二、无界函数的广义积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为10dlimxxA12lim0x)1(2lim02xy10Axy定义2.设,],()(baCxf而在点a的右邻域内无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若,),[)(baCxf而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的广义积分,记作则定义则称此极限为函若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称邻域内无界,xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110xxfbcd)(lim220为瑕点(奇点)——瑕积分.例如,间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义注意:若瑕点的计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗?例6.计算广义积分解:显然瑕点为a,所以2201xalim,ax220adxax2200adxlimax00axlimarcsina00alimarcsina.2原式0arcsinaax1arcsin2π112dxx211111x下述解法是否正确:,∴积分收敛例7.讨论广义积分的收敛性.解:012dxx102dxx101x011x所以广义积分发散.例8.证明广义积分证:当q=1时,当q1时收敛;q≥1时发散.baaxln当q≠1时abqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当q1时,该广义积分收敛,其值为;1)(1qabq当q≥1时,该广义积分发散.例9.解：求的无穷间断点,故I为广义xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI322d)(1)(xxfxf积分.]2]222732arctan内容小结1.广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的广义积分1p1p1q,,,)1(11pap（瑕积分需要注意内部的瑕点）注：当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.高数A