2014年数学建模B题论文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：04010011所属学校（请填写完整的全名）：太原工业学院参赛队员(打印并签名)：1.权静2.田琴3.罗腾指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：尹礼寿（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年09月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1创意平板折叠桌摘要创意平板折叠桌是可以由一块平板折叠成桌子的富有创意的家具。本文根据所给平板的尺寸和形成桌子之后的高度，运用几何模型，对折叠桌平铺和完全折叠后的两个状态进行分析，得到桌腿长度iv和开槽长度il之间的几何关系()22iiivqlwCD，计算出设计加工参数。建立三维直角坐标系，利用这些参数计算出桌脚的坐标，利用数据拟合方法求出桌脚边缘线的数学表达式:z=-(0.03617*x^2+2.856e-17*x*y-4.671e-16*x+0.01999*y^2-0.8099*y+38.58)。折叠桌的设计要考虑产品的稳固性、加工方便、用材最少等方面的因素，但产品稳固性的权重远大于其它方面，所以本文优先满足产品的稳固性最好的情况。在已知折叠桌高度和圆形桌面直径的条件下，经过实际分析得到，当平板完全折叠后，四个最外侧着地的桌腿构成的正方形与桌面圆形外切时，稳固性最大，由此可以通过几何关系求得最外侧桌腿的长度，进而得到平板的最优尺寸的长度，再通过对折叠桌进行受力分析，得到钢筋的位置，距离桌脚的距离，通过matlab和C语言进行编程，得到每根桌腿到中心的距离和每根桌腿的开槽长度。对于任意给定的桌高和直径能够确定最优的加工参数。建立数学模型使得可以满足客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状。关键词：几何分析；三角函数定理；数据拟合；受力分析21.问题重述平板折叠桌是由一个平板折叠而形成的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图2）。图1图2试建立数学模型求解下列问题：1.给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。分析折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图3中红色曲线）的数学描述。3图32.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。2.问题分析平板折叠桌是由一个平板折叠而形成的，其桌面可以理解为由若干根木条拼接成的圆形桌面，其桌腿也是由若干根木条组成，并且分为两组，各组用一根钢筋将木条连接，钢筋固定在桌腿最外侧的两跟木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。由于桌子是完全对称的,所以整个过程中只考虑整个桌面的1/4，由于1/4桌子的木条长度、开槽长度的计算方法都与其他3/4的类似，所以只需做出1/4的就可以扩充到整个桌子，然后其余对应的数据带入1/4桌子下得到的公式即可求出相应的数据。4问题一：在给定木板的大小尺寸和折叠之后桌子高度的基础上，要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数，例如桌腿木条的开槽长度。折叠桌的动态变化过程即各个桌腿在折叠过程中的运动轨迹。折叠桌的设计加工参数即桌面木条的长度、桌腿的长度、桌面与桌腿的夹角、桌腿开槽的长度、钢筋的固定位置等。首先确定桌面木条的长度，同时桌腿木条的长度也相应确定，计算出脚角的大小，画出几何图形确定参数之间的关系，建立模型计算出桌腿开槽长度。对桌脚边缘线的数学描述可建立三维坐标系，找出与每条桌腿的边缘点相关的参数，即可计算出边缘点在坐标系下的位置，再通过MATLAB软件运用数据拟合做出桌脚边缘线的数学表达式和三维图形。问题二：要做到产品的稳定性好、加工方便、用材最少，需要设计桌面木条的长度，开槽长度，脚角的大小，钢筋固定的位置恰到最优，考虑到加工方面可以让最中间木条的开槽长度达到木条的最低端，使最边缘木条与地面形成的夹角达到最稳定的角度。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，根据前面讨论的最优设计和问题一中的程序，将相应变量替换成所给出的数据，然后利用程序算出相应的最优加工参数。问题三：整理上述两个问题中的程序，建立模型使其能够根据客户任意设定的折叠桌的高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。通过模型和自己的创意想法设计出自己的平板折叠桌。3.模型假设（1）假设材料性能对设计无影响（2）假设实际加工误差对设计无影响（3）假设木条间缝隙尺寸为零（4）假设木条与圆桌面之间的交接处无间隙（5）假设钢筋尺寸不计（6）假设桌面圆形边缘的小矩形的长度为5cm5（7）假设只考虑折叠桌的四分之一部分进行讨论与分析（折叠桌为完全对称图形）（8）假设折叠桌的厚度保值不变4.建模过程与求解4.1问题一的建模与求解：4.1.1符号说明：q：木板长度m：木板的厚度r：桌面半径（木板宽度）h：桌子的高度n：每根木条的宽度d：桌面最边缘木条的长度iw：1/4桌面木条的长度iv：1/4桌腿木条的长度il：1/4桌腿上开槽长度4.1.2模型建立：题目中给定一块木板，已知木板的长宽和厚度，每根木条的宽度，折叠后桌子的高度，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，建立平面直角坐标系。以以桌面中心为原点，木板的宽和长分别为x轴和y轴即如下图：6图4（1）观察图4发现此折叠桌为一个完全对称图形，所以只需考虑桌子的四分之一，剩余的可根据对称求解出来。把其中的四分之一分解出来分析，是一个60cm*25cm*3cm的木板，为了使木板最大限度的利用，设置桌面的半径r=25cm,每跟木条的宽度为2.5cm,在不考虑木条间缝隙尺寸造成的误差的情况下，可以分割成10根木条。Y轴方向最外侧桌面木条的宽度即为2.5cm，考虑到美观的效果将桌面最边缘木条的长度也设置为1w=2.5cm,根据上面图形可知木条最下端的点在圆上，所以其余木条的长度可根据圆的方程求解。如图一所示2222rwu即可求出桌面上第二根木条的长度2w=22ru（最边缘木条计为第一条），因为2q=2w+2v，即可求出第二根桌腿的长度2v。这两种木条的长度求出来即可求开槽长度。（2）求空槽长度:桌子的主视图如图5：CAOED53HBF图5如上图所示O为圆心，AO为最边缘木条的长度，C为中间木条弯折的位oyxr2wu7置，E为展成木板时钢筋所在的位置，D为折成桌子形状时钢筋所在的位置，B为最边缘桌腿落在地上的位置，为最边缘桌腿与地面的夹角（后面称为脚角），F为O垂直落在地上的点。根据题意，钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，结合图可知D点即为AB边的中点。()/2iABvqd12ADABOFh2211cosvhv2idACw利用三角形公式在三角形ACD中已知两条边和一个叫即可求出另一条边可得:2222**CDACADACADCOS开槽长度为图中的DE=EF-DH=EH-(CH-CD)整理得222()()2*()*()*cos2424iidqddqdCDww()22iiivqlwCD开槽长度公式求出来，通过matlab软件设计程序见附件一第一问，求出每个量的具体值。如表一所示表一：i12345iw2.500010.897215.000017.853620.0000iv57.500049.102845.000042.146440.0000il06.289810.284413.435016.0003（3）桌脚边缘线的数学描述观察题目中所给的图形可知桌角边缘线即为每根桌腿最低端的点连成的曲线。取每根木腿的一个端点（在这取靠近外侧的一端）近似一根木腿所代表的点，建立一个三维坐标系，可以通过几何知识计算出来。先在二维坐标系中计算出两个坐标系下的坐标，再计算另外一个坐标下的值，在上图的基础上做两条垂直于y轴的辅助线DM,HN，做一条垂直于z轴的辅助线HQ,如图所示。i678910iw21.650622.912923.848524.494924.8747iv38.349437.087136.151535.505135.1253il18.082219.735320.993321.878322.40418yCMNAOED53HQBFZ图6求端点的坐标，即为上图H点的坐标，从图中能够清晰的看出HQ为y的值，NH为z的值，只要算出HQ,NH的长度的表达式即可算出坐标点的表达式。上图中CDM与CHN相似,在前面的讨论中已经算出CD与CH的值，又因为D为AB的中点，所以DM为OF的一半，根据三角形的相似性CDDMCHNH求出NH的值。整理得NH=iz=h/2*iv/CD。iy=HQ=NO=CO-CN,CO为桌面半径，CN可在CHN中利用勾股定理求出。CN=22iivz整理得iy=r-22iivzx轴为垂直于上图平面的一个坐标轴，通过空间想象可得ix=r-[10-(i-1)n]=r-(11-i)n三维坐标系下各个点的坐标算出来，利用对称性计算出另一边的点的坐标，接着利用matlab软件进行曲线拟合（程序见附件一第二问），得到桌角边缘线的数学描述，画出曲线的图形即可。表2为通过程序计算出来的十个点的坐标表2：ix2522.52017.515iy22.299119.927422.709818.396415.6783iz5348.8444.941741.625938.8987ix12.5107.552.5iy13.915512.762012.015011.551911.29979iz36.712535.009833.739032.859732.3433通过曲线拟