线性系统的稳定性分析

线性系统的稳定性分析[摘要]借助系统的零、极点分析研究了系统的稳定性。介绍了系统稳定性的概念、充分必要条件、判断方法及结构不稳定系统的改进措施。[关键词]稳定性线性时不变系统零点极点一、引言线性时不变系统指满足叠加性与均匀性、参数不随时间改变的系统。所谓稳定系统指如果系统受到有界扰动，无论它的初始偏差有多大，当扰动取消后，都能以足够的准确度恢复到初始的平衡状态。稳定性是系统自身的性质之一，它在宇宙航行、导弹制导等自动控制系统中是一个重要的性能指标。为了实现自动控制的基本任务，系统必须满足稳定性。然而，系统是否稳定，与激励信号的情况无关。系统的冲击响应h(t)或系统函数H(s)集中表征了系统的本性，当然它们也反映了系统是否稳定。因此，研究系统的稳定性，可从时域或频域两个方面进行。二、系统稳定的充要条件1、频域充要条件频域指复频域即s域。从频域考虑，线性控制系统的稳定充要条件是H(s)的所有极点，即系统的特征方程根都具有负实部，或者说都位于s的左半平面。这相当于系统的冲击响应满足：[h(t)]=0（1）如果特征方程根中任一根为正，即位于s的右半平面，它所对应的指数项将随时间而单调增长，整个系统因此而不稳定。同样，具有正实部的共轭复根所对应的瞬态响应是发散的正弦振荡。如果共轭复根位于s平面的虚轴上，则对应的瞬态响应为等幅正弦振荡。应当说明，等幅振荡的线性系统实际上是不存在的，而发散过程的系统，也并不意味着输出量会无限增大。实际控制系统的输出量只能增大到一定的范围，超出此范围或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，或者其运动形态超出线性理论所研究的范围而进入非线性工作状态，以致产生等幅振荡。2、时域充要条件从时域考虑，稳定系统的另一种定义方式是：若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统，也称之为有界输入和有界输出（BIBO）稳定系统。上述定义的数学表达式为：（2）（3）式中：e(t)为对激励信号；r(t)为响应信号；和为有界正值。当所有的e(t)满足式（2）时，r(t)亦满足式（3），此时称该系统是稳定的。若按该定义逐个检验各种可能的e(t)满足式（2）和式（3）判断系统稳定性将过于繁琐。为此，推导出稳定系统的充要条件为：（4）式中：M为有界正值；h(t)为冲击响应信号。如果h(t)是绝对可积的，则系统稳定。三、系统稳定性的判断根据稳定概念和稳定的充要条件，介绍六种判断系统稳定性的频域及时域的方法。1、根据H(s)在s平面的极点分布来判断该方法属于频域判断法。对于因果系统，观察在时间时，h(t)是增长，还是趋于有限值或者消失，既可确定系统的稳定性。研究H(s)在s平面中的极点分布位置，可方便地给出有关稳定性的结论。按H(s)在s平面中的极点分布位置，因果系统可划分为稳定系统、不稳定系统、临界稳定系统3种情况。1）稳定系统若H(s)的全部极点均落于s的左半平面（不含虚轴），则可满足，此时系统是稳定的。2）不稳定系统若H(s)的极点落于s的右半平面或在虚轴上具有二阶以上极点，经足够长时间后，h(t)仍在继续增长，系统是不稳定的。3）临界情况若H(s)的极点落于s的平面虚轴上，且只有一阶，则经足够长时间后，h(t)趋于一个非零的数值或等幅振荡，而处于上述两种类型的临界情况，与（2）一起列为不稳定系统。在此，以图1所示控制系统为例，说明如何利用H(s)在s平面的极点分布来讨论该系统中当K从0增长时系统稳定性的变化。求得极点位置为：（5）图1控制系统当K=0,=-2，=+1时，有一个极点在右半平面；当K=2,=-1,=0时，有一个极点在虚轴上；当时，极点都位于左半平面上。事实上，当K2时，计算出极点或极点的实部都位于左半平面，即K9/4有共轭复数。因此，K2的系统稳定，K2系统不稳定。K增长时，极点在s平面的移动过程如图所示：图2极点在s平面移动过程2、劳斯判据设系统函数为H(s)，则系统稳定的必要条件是H(s)的分母多项式，即：（6）式（6）的全部系数非零且均为正实数。对三阶系统，其充要条件是D(s)的各项系数全为正，且满足0。3、BIBO稳定性判据BIBO判据指用BIBO稳定性来判断。在讨论时域充要条件时，并未涉及系统的因果性，这表明无论因果稳定系统或非因果稳定系统只要满足式（5）的条件，都可判断这些系统是稳定的。然而对因果系统，式（5）可改写为：（7）对于因果系统，从BIBO稳定性定义考虑与考察H(s)极点分布来判断稳定性具有统一结果。当H(s)极点位于左半平面时，h(t)绝对可积，系统稳定；当H(s)绝对位于右半平面或在虚轴具有二阶以上极点时，h(t)不满足绝对可积条件，系统不稳定。当H(s)极点位于虚轴且只有一阶时称为临界稳定系统，则h(t)处于不满足绝对可积的临界状况，从BIBO判据来看，这种情况仍属于不稳定范围。4、根据闭环传递函数判断可以根据根的轨迹法得到闭环零、极点在平面的分布情况，就可以写出系统的闭环传递函数，进行系统性能的分析。以系统的单位阶跃响应为例，说明闭环零、极点的一般规律。设多阶系统的闭环传递函数为式中，和，分别为系统的闭环零点，极点和根轨迹增益，于是，单位阶跃输人作用下系统输出的象函数为设闭环系统无重根，把上式分解成部分和式，有式中是在输入极点和系统极点上的留数，由复变函数的留数定理，得到即、取决于系统的闭环零，极点分布。经拉氏变换，可求出系统的单位阶跃响应为上式表明，系统的稳定要求其闭环极点全部位于S左半平面，欲使系统稳定工作，其中响应的轨迹必须位干S平面的左半部。如果系统根轨迹存在三条或三条以上的渐近线，则必须有一个Kg的值，使系统处于临界稳定状态，这时系统最多是条件稳定的。稳定性与闭环零点分布无关，当极点落于虚轴上或在右半开平面系统都不可能稳定。5、利用特征值判断系统的稳定性对于线性定常系统：称多项式为系统的特征多项式。令特征多项式等于0，即得系统的特征方程特征方程的根称为系统的特征根，即系统的闭环极点。6、结构不稳定系统的改进措施如果无论怎样调整系统的参数，也无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。如图3所示的系统。图3结构不稳定系统结构图闭环传递函数为特征方程式为根据劳斯判据，由于方程中s一次项的系数为零，故无论K取何值，该方程总是有根不在s左半平面，即系统总是不稳定。这类系统称为结构不稳定系统。解决这个问题的办法一般有以下两种：（1）改变环节的积分性质可用比例反馈来包围有积分作用的环节。例如，在积分环节外面加单位负反馈，见图4，图4积分环节外加单位负反馈这时，环节的传递函数变为从而使原来的积分环节变成了惯性环节。图3所示系统中的一个积分环节加上单位负反馈后，系统开环传递函数变成为系统的闭环传递函数为特征方程式劳斯表根据劳斯判据，系统稳定的条件为,即所以，K的取值范围为可见，此时只要适当选取K值就可使系统稳定。（2）加入比例微分环节如图5所示，在前述结构不稳定系统的前向通道中加入比例微分环节，系统的闭环传递函数变为劳斯表系统的稳定条件为,即可见，此时只要适当选取系统参数，便可使系统稳定。图5系统中加入比例微分环节四、结束语任何系统要能正常工作，都必须以系统稳定为先决条件，所以判断系统的稳定与否十分重要，它能指导系统设计合理地选择元件参数。实际工程中，判断系统的稳定与否，只解决了系统的相对稳定性问题；当系统在实际的工作过程中，它的参数会发生微小的变化或受到外界干扰的影响，原来稳定的系统稳定性是否发生变化，这就决定于系统的相对稳定性。系统的稳定性，可以通过很多种方法进行研究，如极点分布判定法也可以用劳斯稳定性判据分析，还可以根据描述函数法等。但是对于线性系统用极点分布判定既简单又直观.也是工程实际分析最有效的方法。极点直接体现就是系统本身的参数问题，所以分析极点分布就是分析系统稳定。参考文献：[1]郑君里.信号与系统[M].北京：高等教育出版社，2006.[2]胡寿松.自动控制原理[M].北京：科学出版社，2005.[3]余成波.信号与系统[M].北京：清华大学出版社，2007.[4]王化一自动控制原理[M].北京:国防工业出版社出版，2003.[5]葛果译，A.帕普里斯.电路与系统(模拟与数字新讲法)[M].1979.[6]《控制系统数字仿真与CAD》/李国勇，谢克明等编著--北京：电子工业出版社，2003.9.[7]周孔章《电路原理》高等教育出版社1983年第l版.[8]梁贵书，任宇，崔翔.信号与系统[M]·北京：华北电力大学学报，2004,3.[9]邱关源，电路(第四版)[M]，北京：高等教育出版社，1999.[10]燕庆明·信号与系统[M]·高等教育出版社,2004·7.[11]李瀚荪《电路分析基础》高等教育出版社1993年第3版.研究方向：电子与通信工程。