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1/3万有引力与潮汐岳阳市第四中学缪纯丽选自《物理教师》2009年第12期高中一年级学过万有引力后，有学生问：“我们地理课中讲到海水的潮汐是由于万有引力引起的，请老师跟我们解释一下。”对于这一问题，还得从天体的运动和万有引力来分析。1什么叫做潮汐？潮汐是指海洋中的水按一定规律的涨落现象，白天海水的涨落称为“潮”，晚上海水的涨落称为“汐”。潮汐主要是由于月亮和太阳对于海水的引力造成的。但由于月亮距离地球较近，它绕着地球运动，海洋潮汐主要是月亮的影响为主，太阳的影响相对小一些。海洋的潮汐跟航海业、海洋渔业和国防有着密切的关系；海洋的潮汐可以产生巨大的能量，世界各国已经利用或正在利用潮汐发电。因此，研究和利用潮汐规律有着非常重要的意义。2引潮力的产生我们主要分析月亮的引力而产生的引潮力，为了分析问题简单起见，假设地球表面全部被海水包围，且月亮和地球都是均匀球体。质心都与其球心重合。月亮绕地球转动，可以看作两球绕其公共质心C作圆周运动，如图1所示。公共质心C的位置可这样确定：设地球的质量为M，月亮的质量为m，两球心相距O1O2＝r，两球心相距公共质心O1C＝r1，O2C＝r2，则有Mr1＝mr2，r1＋r2＝r。因此得到r1＝mrM＋m，r2＝MrM＋m。如果设地球的半径为R，又由r＝60R，M＝81m，代入上式得到，r1＝34R，即公共质心c在地球内部，距离地心为34R处。2/3如果研究海水中向着月面的A质点和背着月面的B质点，如图2所示。设地球对两质点的引力分别为PA和PB，月亮对它们的引力分别为PA′和PB′，海水的支持力分别为NA和NB，绕公共质心转动的惯性离心力分别为FA和FB，在转动平衡时，有NA＋PA′＋FA=PA，NB＋FB＝PB＋PB′。将上面两式整理得NA＝PA－（FA＋PA′），NB＝PB－（FB－PB′）。其中（FA＋PA′）和（FB－PB′）是惯性离心力与月亮引力的合力。若此合力为零，则不会出现潮汐现象，海水的涨落就是由这个合力造成的。因此，这个合力被称为引潮力。显然，A质点所受的引潮力方向是指向月亮而背离地球的。对于B质点所受的引潮力方向，我们作以下分析：设地球和月亮绕公共质心C转动的角速度为ω，A和B的转动半径为rAC和rBC，取质点A和质点B具有相等的质量Δm，则有FA＝ΔmrACω2和FB＝ΔmrBCω2。由前面的计算可知rAC＝34R，rBC＝74R，得到FA＜FB。另一方面，可以认为地球各个质元Δm所受到的惯性离心力的合力等于月亮对地球的引力，即F合＝GmMr2＝GmΣΔmr2。式中G为万有引力常数，地球的各个质元Δm所受的惯性离心力平均值为f＝GmΔmr2。对上面几个力比较，我们得到FA＜f和FB＞f＞PB′。则质点B所受的引潮力方向也是背离地球的。可见，无论是面向月亮还是背向月亮的海水，都要受到背离地球的引潮力的作用而形成海水高峰。A点的海水高峰叫顺潮，B点的海水高峰叫对潮。我们如果对图2中的D、E两点进行分析，可以得到其引潮力是指向地球内部的，则D、E两处的海水会形成低谷。同理，如果对于地球和太阳进行分析，它们绕其公共质心转动，相应的惯性离心力与太阳引力的合力，就构成太阳的引潮力。虽然太阳的质量比月亮大，但太阳离地球的距离远远3/3大于月亮离地球的距离，所以太阳的引潮力要比月亮的引潮力小很多，潮汐现象主要是由于月亮的引潮力起着决定性作用。3潮汐现象的规律由于地球的自转。地球上的各个点要依次经过图2中的A、B、D、E的位置。这就是同一地点的海水，每天要涨落两次的原因。潮汐又有大潮和小潮、近地潮和远地潮、近日潮和远日潮，都是由于引潮力的变化而产生的。大潮和小潮是由于太阳引潮力的影响而形成的。当太阳、地球和月亮运动到同一直线时，如图3所示，太阳和月亮的引潮力叠加，海水所受到的引潮力最大，以致海水高峰最大，称为大潮。大潮总是出现在农历的初一（新月）和十五（满月）左右。当农历的初七、初八（上弦）和廿三、廿四（下弦）时，太阳、地球和月亮的相对位置几乎构成一个三角形。这时月亮的引潮力被太阳的引潮力抵消了一部分。海水所受到的引潮力最小，因而形成的海水峰最小，称为小潮。每次潮汐的大小，还与月亮或地球在其轨道上的位置有关。实际上月亮绕地球运动的轨道是椭圆，地球位于此椭圆的一个焦点上。因而在月亮运行的过程中，当月亮位于近地点时引潮力最大，称为近地潮；当月亮位于远地点时引潮力最小，称为远地潮。同样，地球绕太阳运动的轨道，也有近日点和远日点。与此相应，亦有近日潮和远日潮。近日潮在一月初，远日潮在七月初。