搜索
第1页，共13页必修一第五章三角函数单元训练题(18)一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.已知角𝛼的终边过点𝑃(−4,3)，则2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼的值是()A.2425B.−2425C.2325D.−23252.将函数𝑓(𝑥)=cos(3𝑥+𝜋6)的图象向左平移𝜋2个单位长度，得到的图象的函数解析式为()A.𝑦=−sin(3𝑥+𝜋6)B.𝑦=cos(3𝑥+𝜋2)C.𝑦=−cos(3𝑥+𝜋6)D.𝑦=sin(3𝑥+𝜋6)3.下列各角中，与60°终边相同的角为()A.30°B.120°C.420°D.300°4.已知𝑠𝑖𝑛𝛼=√33，𝛼是第二象限角，则𝑐𝑜𝑠𝛼=()A.√33B.√63C.−√33D.−√635.为了得到函数𝑦=3𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜋5)的图象，只需把𝑦=3𝑠𝑖𝑛(𝑥−𝜋5)的图象上所有的点()A.向右平移𝜋5个单位长度B.向左平移𝜋5个单位长度C.向右平移2𝜋5个单位长度D.向左平移2𝜋5个单位长度6.计算6𝑠𝑖𝑛(−90°)+3𝑠𝑖𝑛0°−8𝑠𝑖𝑛270°+12𝑐𝑜𝑠180°的值为()A.−10B.−2C.2D.267.已知𝑡𝑎𝑛𝛼=13，则cos(2𝛼+𝜋2)=()A.35B.−35C.45D.−458.已知𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,|𝜑|𝜋2)的图象关于直线𝑥=5𝜋24对称，把𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋4个单位后所得的图象关于点(𝜋12,0)对称，则𝜔的最小值为()A.2B.3C.4D.69.已知𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜑)(0𝜑𝜋2)在[0,𝜋3]上是增函数，且𝑓(𝑥)在(0,7𝜋8)有最小值，则𝜑的取值范围是()A.[𝜋6,𝜋2)B.[𝜋6,𝜋4)C.[𝜋3,𝜋2)D.[𝜋4,𝜋3)10.已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,|𝜑|𝜋)的部分图象如图所示，若存在0≤𝑥1𝑥2≤𝜋，满足𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=34，则cos(𝑥1−𝑥2)=()第2页，共13页A.−√74B.√74C.34D.−3411.已知𝛼∈(0,𝜋2)，𝑡𝑎𝑛𝛼=√2𝑐𝑜𝑠𝛼，则𝑠𝑖𝑛𝛼=()A.√33B.√63C.√22D.√32二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）12.已知𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)，若对任意𝑥∈[0,𝜋2]不等式𝑚−2≤𝑓(𝑥)≤𝑚+√2恒成立，则实数m的取值范围是______．13.若点𝑃(𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼)在直线𝑦=2𝑥上，则cos(2𝛼+𝜋2)的值等于______．14.已知函数𝑦=√32𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥+12𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥在𝑥∈[23,𝑡](𝑡23)时的最小值为m，最大值为M，若2𝑀+𝑚=0，则(𝑚+𝑀)𝑡的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋4).(Ⅰ)填写如表并用五点法画出𝑓(𝑥)在[𝜋8,9𝜋8]上简图；x2𝑥−𝜋4𝑦=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋4).(Ⅱ)说明该函数图象可由𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥∈𝑅)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到．第3页，共13页16.在平面直角坐标系内有两点𝑀(2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥+𝜑2, 1)，𝑁(1, √3sin(𝜔𝑥+𝜑)−1)，其中𝜔0，0𝜑𝜋2，设函数𝑓(𝑥)=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗，其中O为坐标原点，若𝑓(𝑥)的图象相邻两最高点的距离为𝜋，且有一个对称中心为(𝜋3, 0)，设𝑔(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥)(𝑎≠0)．(Ⅰ)求𝜔和𝜑的值；(Ⅱ)求𝑔(𝑥)的单调递增区间；(Ⅲ)当𝑎0时，方程𝑔(𝑥)=𝑘在[0,𝑎]上有解，求k的取值范围．17.已知函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑖𝑛𝑥+√3𝑐𝑜𝑠𝑥)−√3sin2𝑥．(Ⅰ)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)若当𝑥∈[0,𝜋2]时，关于x的不等式𝑓(𝑥)≥𝑚有解，求实数m的取值范围．18.已知𝑎⃗⃗=(𝑠𝑖𝑛2𝛼,3)，𝑏⃗=(4,𝑐𝑜𝑠2𝛼)，𝜋4𝛼𝜋2，−𝜋2𝛽0，且𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗．(1)求𝑐𝑜𝑠2𝛼的值；(2)若𝑐𝑜𝑠𝛽=2√55，求cos(𝛼−𝛽)的值．第4页，共13页19.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥−𝜋6)−√3sin2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥．(Ⅰ)求𝑓(𝑥)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)将函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移𝜋4个单位长度，得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象，若关于x的方程[𝑔(𝑥)]2−(2+𝑎)𝑔(𝑥)+2𝑎=0在[−3𝜋4,𝜋4]上恰有2个根，求a的取值范围．20.已知𝑠𝑖𝑛𝛼=13，𝑡𝑎𝑛𝛼0．(Ⅰ)求𝑠𝑖𝑛2𝛼的值；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，若𝛼的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，将角𝛼的终边绕原点顺时针旋转𝜋4后与单位圆交于点Q，求点Q的坐标．第5页，共13页--------答案与解析--------1.答案：B解析：解：角𝛼的终边过点𝑃(−4,3)，∴𝑟=𝑂𝑃=5，利用三角函数的定义，求得𝑠𝑖𝑛𝛼=35，𝑐𝑜𝑠𝛼=−45，所以2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=2×35×(−45)=−2425；故选：B．根据角𝛼的终边过点𝑃(−4,3)，得到点P到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求出𝑠𝑖𝑛𝛼，𝑐𝑜𝑠𝛼的值即可求解结论．本题考查任意角的三角函数的定义，本题解题的关键是求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义，本题是一个基础题．2.答案：D解析：解：将函数𝑓(𝑥)=cos(3𝑥+𝜋6)的图象向左平移𝜋2个单位长度，得到的图象的函数解析式为𝑦=cos(3𝑥+3𝜋2+𝜋6)=sin(3𝑥+𝜋6)，故选：D．由题意利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，诱导公式，得出结论．本题主要考查函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．3.答案：C解析：解：与60°终边相同的角一定可以写成𝑘×360°+60°的形式，𝑘∈𝑧，令𝑘=1可得，420°与60°终边相同，故选：C．与60°终边相同的角一定可以写成𝑘×360°+60°的形式，𝑘∈𝑧，检验各个选项中的角是否满足此条件．本题考查终边相同的角的特征，凡是与𝛼终边相同的角，一定能写成𝑘×360°+𝛼，𝑘∈𝑧的形式．4.答案：D解析：解：∵𝑠𝑖𝑛𝛼=√33，𝛼是第二象限角，∴𝑐𝑜𝑠𝛼=−√1−sin2𝛼=−√1−(√33)2=−√63．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5.答案：D第6页，共13页解析：解：只需把𝑦=3𝑠𝑖𝑛(𝑥−𝜋5)的图象上所有的点向左平移2𝜋5个单位长度，即可得到函数𝑦=3𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜋5)的图象，故选：D．由题意利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为6𝑠𝑖𝑛(−90°)+3𝑠𝑖𝑛0°−8𝑠𝑖𝑛270°+12𝑐𝑜𝑠180°=−6+0−8(−1)+12(−1)=−10．故选：A．利用6𝑠𝑖𝑛(−90°)=−𝑠𝑖𝑛90°=−1，𝑠𝑖𝑛0°=0，𝑠𝑖𝑛270°=−1，𝑐𝑜𝑠180°=−1，化简求值．本题考查运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，注意三角函数值的符号．7.答案：B解析：解：∵𝑡𝑎𝑛𝛼=13，∴cos(2𝛼+𝜋2)=−𝑠𝑖𝑛2𝛼=−2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=−2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=−2𝑡𝑎𝑛𝛼1+tan2𝛼=−2×131+(13)2=−35．故选：B．由已知利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：解：∵已知𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,|𝜑|𝜋2)的图象关于直线𝑥=5𝜋24对称，把𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋4个单位后所得的图象关于点(𝜋12,0)对称，而𝜋12+𝜋4=𝜋3，可得𝑓(𝑥)的图象既关于直线𝑥=5𝜋24对称，又关于点(𝜋3,0)对称，∴2𝑘+14⋅2𝜋𝜔=(𝜋3−5𝜋24)，∴𝜔=8𝑘+4，𝑘∈𝑍，则𝜔的最小值为4，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于中档题．9.答案：B解析：解：由𝑥∈[0,𝜋3]，可得2𝑥−𝜑∈[−𝜑,2𝜋3−𝜑]，结合0𝜑𝜋2，由𝑓(𝑥)在[0,𝜋3]上是增函数，第7页，共13页可得2𝜋3−𝜑≤𝜋2，所以𝜋6≤𝜑𝜋2①．当𝑥∈(0,7𝜋8)时，2𝑥−𝜑∈(−𝜑,7𝜋4−𝜑)，由𝑓(𝑥)在(0,7𝜋8)有最小值，可得7𝜋4−𝜑3𝜋2，即𝜑𝜋4②，结合①②可得，𝜋6≤𝜑𝜋4，故选：B．由题意利用正弦函数的最值、定义域和值域，求得𝜑的取值范围．本题主要考查正弦函数的最值、定义域和值域，属于中档题．10.答案：C解析：解：由图象知函数的周期𝑇=2×(13𝜋12−7𝜋12)=2×6𝜋12=𝜋，即2𝜋𝜔=𝜋，得𝜔=2，𝑓(7𝜋12+13𝜋122)=𝑓(10𝜋12)=sin(2×10𝜋12+𝜑)=−1，即5𝜋3+𝜑=2𝑘𝜋+3𝜋2，即𝜑=2𝑘𝜋−𝜋6，𝑘∈𝑍，当𝑘=0时，𝜑=−𝜋6，即𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋6)，∵存在0≤𝑥1𝑥2≤𝜋，满足𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=34，∴−𝜋6≤2𝑥1−𝜋6≤11𝜋6，则𝜃1=2𝑥1−𝜋6，𝜃2=2𝑥2−𝜋6关于𝜋2对称，即2𝑥1−𝜋6+2𝑥2−𝜋62=𝜋2，得𝑥2=2𝜋3−𝑥1，且sin(2𝑥1−𝜋6)=34则cos(𝑥1−𝑥2)=cos(2𝑥1−2𝜋3)，设2𝑥1−𝜋6=𝛼，则2𝑥1=𝜋6+𝛼，即𝑠𝑖𝑛𝛼=34则cos(𝑥1−𝑥2)=cos(2𝑥1−2𝜋3)=cos(𝜋6+𝛼−2𝜋3)=cos(𝛼−𝜋2)=𝑠𝑖𝑛𝛼=34故选：C．根据图象求出函数解析式，结合对称性求出𝑥2=2𝜋3−𝑥1，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导关系进行转化是解决本题的关键．有一定的难度．第8页，共13页11.答案：C解析：解：∵𝛼∈(0,𝜋2)，𝑡𝑎𝑛𝛼=√2𝑐𝑜𝑠𝛼，∴𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=√2𝑐𝑜𝑠𝛼，