反比例函数的图像与性质

反比例函数的图象和性质一、反比例函数的定义函数kyx（k为常数，0k）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数kyx（k为常数，0k）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数kyx与kyx（0k）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数kyx（k为常数，0k）的图象是双曲线；当0k时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意：⑴反比例函数kyx（0k）的取值范围是0x．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k时，双曲线kyx的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x，即0x或0x的缘故．如果笼统地叙述为0k时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)kykx中，只有一个系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k的几何意义过反比例函数0kykx，图象上一点Pxy，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积Sxyxyk.一、反比例函数的定义及解析式的确定【例1】下列关于x的函数中：①2yx；②43yx；③kyx；④22myx中，一定是反比例函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【巩固】已知y与2x成反比例，当3x时，4y，则y是x的（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．以上都不是【例2】若函数||1ayx是反比例函数，则a的值为（）．A．a为任意实数B．0aC．1aD．1a【巩固】已知2212mmymmx是关于x的反比例函数，求m的值及函数的解析式．【例3】已知反比例函数的图象经过点3,2和,2m，则m的值是．【巩固】已知212yyy，其中1y与x成正比例，2y与x成反比例，且当2x和3x时，y的值都为l9，求y与变量x的函数关系式．二、反比例函数的图象分布及增减性【例4】在下图中，反比例函数21kyx的图象大致是（）ABCD【巩固】函数kyx（0k）的图象可能是（）A.B.C.D.xyOxyOOyxxyO【例5】函数kyx与ykxb在同一坐标系的图象大致是图中的（）AOxyBOxyCOxyDOxy【巩固】函数(0)kykx的图象如图所示，那么函数ykxk的图象大致是（）OxyAOxyBOxyOxyCDOxy【例6】已知0a，0b，0ab则函数yaxb与abyx在同一坐标系中的图象不可能是()OyxxyOxyOxyOA.B.C.D.【巩固】如图，反比例函数1kyx与一次函数(1)ykx只可能是（）OyxxyOxyOxyOA.B.C.D.【例7】反比例函数2(0)kykx的图象的两个分支分别位于．【巩固】已知点1Pa，在反比例函数kyx（0k）的图象上，其中223amm（m为实数），则这个函数的图象在第_____象限．【例8】在反比例函数5kyx图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．5kB．0kC．5kD．0k【巩固】已知反比例函数12myx的图象上两点A（1x，1y），B（2x，2y），当120xx时，有12yy，则m的取值范围是_____．【例9】已知3b，且反比例函数1byx的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，如果点（a，3）在双曲线上1byx，则_____a．【例10】若A（1a，1b），B（2a，2b）是反比例函数2yx图象上的两个点，且12aa，则1b与2b的大小关系是（）A．12bbB．12bbC．12bbD．大小不确定【巩固】已知反比例函数kyx的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点1227,,5,AyBy，则1y与2y的大小关系为（）A．12yyB．12yyC．12yyD．无法确定321231POxy【例11】反比例函数3yx的图象上有三点，（2，a），（1，b），（1，c），比较a，b，c大小．【巩固】若点A（1，1y）、B（2，2y）、B（π，3y）都是反比例函数21kyx的图象上，试比较1y、2y、3y的大小关系．1.已知函数1mmyx是y关于x的反比例函数，求m的值．2.如图，点P在反比例函数10yxx的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点'P．则在第一象限内，经过点'P的反比例函数图象的解析式是（）A．50yxxB．50yxxC．60yxxD．60yxx3.函数yxm与(0)mymx在同一坐标系内的图象可以是（）AOxyOxyBOxyCDOxyxyB(-2,b2)A(-1,b1)4.已知反比例函数的图象经过点21P，，则这个函数的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限5.反比例函数2231mymx的图象所在的象限内，y随x增大而增大，则反比例函数的解析式是（）A．4yxB．4yxC．4yx或4yxD．不能确定6.反比例函数21myx的图象如图所示，1(1)Ab，，2(2)Bb，是该图象上的两点．⑴比较1b与2b的大小；⑵求m的取值范围．