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-1-§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理第1课时空间图形的公理(公理1、2、3)学习目标核心素养1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、面的基本位置关系．2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系．(重点、易错点)3．掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)1.通过了解空间图形的基本构成，培养直观想象素养．2．通过学习空间图形的公理1、2、3提升逻辑推理素养.1．空间图形的基本关系位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点A不在直线a上A∉a点B在直线α上B∈a点与面的位置关系点A在平面α内A∈α点A在平面α内B∉α直线与直线的位置关系平行相交a∥b异面平行a∩b＝O相交a与b异面位置关系直线与平面的位置关系线在面内aα线面相交a∩α＝A线面平行a∥α平面与平面的位置关系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a-2-对于长方体有12条棱和6个面．思考1：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思考2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．思考3：六个面之间有哪几种位置关系．提示：平行和相交．2．空间图形的公理(1)三个公理：名称内容图形表示符号表示公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A，B，C三点不共线，则点A，B，C确定一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则lα公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l(2)公理1的三个推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面．公理1及其推论给出了确定平面的依据．思考4：两个平面的交线可能是一条线段吗？提示：不可能．由公理3知两平面的交线是一条直线．思考5：经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示：不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα[答案]C-3-2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对C[若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．]3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()D[画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选D.]4．据图填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.[答案]∈∉∩三种语言的相互转换【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．三种语言的转换方法1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且-4-相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.[跟进训练]1．(1)如果aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l与α的位置关系是________．(2)如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？(1)直线l在平面α内[如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα.](2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线.点线共面问题【例2】证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[思路探究]先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，-5-∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2常用方法有：1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；2先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；3假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.[跟进训练]2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D∉l，所以D和l可确定一平面，设为α.因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．点共线与线共点问题[探究问题]1．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，那么点P，B，D共线吗？请说明理由．提示：连接BD(图略)．∵EF，HG相交于一点P，且EF平面ABD，GH平面CBD，∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴点P，B，D共线．2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，能否判断B，Q，D1三点共线？-6-提示：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线．【例3】已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．[思路探究]解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．1．证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．2．证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直-7-线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．[跟进训练]3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．[解]如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．-8-1．思考辨析(1)不平行的两条直线的位置关系为相交．()(2)两个平面的交线可以是一条线段．()(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”．()(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线．()[解析](1)×，不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错．(2)×，两个平面的交线是直线，故(2)错．(3)√，正确．(4)×，可能相交或平行，故(4)错．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]3．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．平行、相交或异面[两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．]4．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．[解]如图所示．∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，设这个平面为α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴lα.即过a，b，l有且只有一个平面．