20202021学年高中数学第1章立体几何初步6垂直关系62垂直关系的性质教师用书教案北师大版必修2

-1-6.2垂直关系的性质学习目标核心素养1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点)2．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化．(难点、易错点)3．能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题．(难点)1.通过学习直线与平面、平面与平面垂直的性质定理提升数学抽象、直观想象素养．2．通过应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题，培养逻辑推理素养.1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．(2)符号语言：l⊥α，m⊥α⇒l∥m.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．思考1：过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：一条．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明直线与平面垂直．思考2：若α⊥β，则α内的直线与β内的直线有什么位置关系？提示：平行、相交、异面．思考3：若α⊥β，则α内的直线是否都与β内的直线垂直？提示：不是．-2-1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1D1D．A1AB[可证BD⊥平面AA1C1C，而CE平面AA1C1C，故BD⊥CE.]2．若平面α⊥β，直线a∥α，则()A．a⊥βB．a∥β或aβC．a与β相交D．aβ或a∥β或a与β相交D[a与β三种位置关系都有可能．]3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行B[圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]4．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线[答案]B线面垂直的性质【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.-3-[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.证明线线平行常用如下方法：1利用线线平行的定义：证共面且无公共点；2利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.[跟进训练]1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.面面垂直性质的应用【例2】如图，已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.-4-[证明]如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC.BC平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC平面PAC，∴BC⊥AC.1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．[跟进训练]2．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明]∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，∴BC⊥平面VAB，∵VA平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.垂直关系的综合应用-5-[探究问题]1．如图，四边形ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直，并说明理由．提示：垂直．连接AC(图略)．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.2．在上述问题中，判断平面SBC与平面SDC是否垂直，并说明理由．提示：不垂直．假设平面SBC⊥平面SDC.∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB.∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.【例3】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．[思路探究]解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论．-6-[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.本例条件不变，试求二面角P­BC­A的大小．[解]如例题解答图，易知PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BC.又四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又AD∥BC，∴BG⊥BC，∴BC⊥平面PBG，∴BC⊥PB.∴∠PBG为二面角P­BC­A的平面角．又PG＝32a，BG＝32a，PG⊥BG，∴∠PBG＝45°.∴二面角P­BC­A的大小为45°.立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：-7-1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：1．思考辨析(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．()(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()(3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ.()[解析](3)×，α∥γ或α∩γ＝l.[答案](1)√(2)√(3)×2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：①过P与l垂直的直线在α内；②过P与β垂直的直线在α内；③过P与l垂直的直线必与α垂直；④过P与β垂直的平面必与l垂直．其中正确的命题是()A．②B．③C．①④D．②③A[因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂线必在平面α内且和l垂直，①③④可能成立，也可能不成立．]3．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________2[∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连接OD，OE，则PD＝PE＝3，-8-∴CD＝CE＝OD＝OE＝22－32＝1，∴PO＝PD2－OD2＝3－1＝2.∴P到平面ABC的距离为2.]4．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.[证明]∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，∵AC平面ABC，MN平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∴四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.