20202021学年高中数学第1章立体几何初步阶段综合提升第1课立体几何初步教师用书教案北师大版必修

-1-第1课立体几何初步[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]由三视图求几何体的表面积与体积【例1】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B.2C.3D．2C[根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝3.]1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．-2-[跟进训练]1．一个几何体的三视图如图所示，其中左视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．8π[由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V＝43×π×23×34＝8π.]c【例2】如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．[解](1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D1D1C1＝1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，得BC1∥D1O，所以A1D1D1C1＝A1OOB，又由题可知A1D1D1C1＝DCAD，A1OOB＝1，所以DCAD＝1，即ADDC＝1.1．证明线线平行的依据(1)平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；(2)公理4；(3)线面平-3-行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理．2．证明线面平行的依据(1)定义；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理．3．证明面面平行的依据(1)定义；(2)面面平行的判定定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)面面平行的传递性．[跟进训练]2.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H为BC的中点，求证：FH∥平面EDB.[证明]连接AC交BD于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，∵H为BC的中点，∴GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，∵EG平面EDB，FH平面EDB，∴FH∥平面EDB.垂直关系的判定和性质【例3】如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[证明](1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.-4-(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1．两条异面直线相互垂直的证明方法(1)定义；(2)线面垂直的性质定理．2．直线和平面垂直的证明方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理．3．平面和平面相互垂直的证明方法(1)定义；(2)面面垂直的判定定理．[跟进训练]3．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．-5-(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．[解](1)证明：由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D.∵AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.易知A1B1＝2，∵AA1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.截面问题【例4】如图，已知正三棱锥S­ABC，过B和侧棱SA，SC的中点E，F作一截面，若这个截面与侧面SAC垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积之比．[思路探究]构建截面，利用几何知识巧妙判断各棱之间的关系．[解]取AC的中点M，连接SM，设SM∩EF＝D.如图．SFFC＝在△SAC中，E，F分别为SA，SC的中点，所以EF∥AC，所以SDDM，而SF＝FC，所以SD＝DM，所以D为SM的中点．连接BD，BM.因为S­ABC为正三棱锥，所以SM⊥AC.而AC∥EF，所以SM⊥EF，又截面BEF⊥平面SAC，所以SM⊥BD.又SD＝DM，所以△SBM为等腰三角形，SB＝BM.设正三棱锥S­ABC的底面边长为a，则BM＝32a，从而SA＝SB＝SC＝BM＝32a，-6-又SM＝SC2－CM2＝32a2－a22＝22a，所以S侧＝3×12×a×22a＝324a2，S底＝34a2，所以S侧∶S底＝6∶1.在中学数学中，有关截面的问题主要有面积、距离和角的计算问题以及与截面的位置、形状、数量有关的证明和判定问题.在解有关截面问题时要注意：截面的位置；截面的形状及有关性质；截面的元素及其相互关系；截面的有关数量.[跟进训练]4．一个圆锥底面半径为R，高为3R，求此圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．[解]如图，△SAB为圆锥SO的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对角面，DF为棱柱的底面对角线，要求棱柱的表面积，只要求出底面正方形边长及棱柱的高即可．设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝22a.∵△SDE∽△SAO，∴DEAO＝SESO.∵AO＝R，SO＝3R，∴22aR＝3R－h3R，∴h＝3R－62a.∴S表＝2a2＋4ah＝2a2＋4a3R－62a.整理得S表＝(2－26)a－3R6－12＋6R26－1，0＜a＜2R.∵2－26＜0，3R6－1＜2R，-7-∴当a＝3R6－1时，S表有最大值6R26－1＝6＋R25.即圆锥的内接正四棱柱表面积最大值是6＋5R2.折叠问题【例5】在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.[思路探究]运用线线垂直证明线面垂直，运用线面垂直证明面面垂直．[证明]如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝12AD，E是AD的中点，∴A′B＝A′E，∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在矩形ABCD中，DC⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴DC⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵ED∥BC，且ED≠BC，∴BE必与CD相交，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题.求解折叠问题的两个关键点：画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；分析好两者之间的关系——折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化.[跟进训练]5．如图(1)所示，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，如图(2)所示，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．[证明]梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，-8-∴EF∥AB且EF＝12(AB＋CD)．翻折后，C′D′∥EF，∴C′D′∥AB.又G，H分别为AD′，BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝12(AB＋C′D′)＝12(AB＋CD)，∴GH綊EF，∴四边形EFGH为平行四边形．