20202021学年高中数学第2章解析几何初步1直线与直线的方程11直线的倾斜角和斜率教师用书教案北

-1-§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率学习目标核心素养1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(重点)1.通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学抽象素养．2．通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养数学运算素养.1．直线的确定及直线的倾斜角(1)直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．(2)直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示．②范围：0°≤α180°.思考1：若一条直线的倾斜角为0°时，此直线与x轴什么关系？提示：平行或重合．2．直线的斜率(1)直线的斜率：直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝tanα，α≠90°，不存在，α＝90°.(2)经过两点的直线斜率的计算公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.(3)斜率与倾斜角的关系：图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)k＝0k＞0不存在k＜0-2-思考2：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？提示：不是．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为90°.思考3：在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？提示：相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等．1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．3[k＝tan60°＝3.]2．经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是________．5[k＝y2－y1x2－x1＝7－24－3＝5.]3．经过两点P(1，－4)，Q(－1，－4)的直线的倾斜角是________．0°[k＝tanα＝y2－y1x2－x1＝－4＋4－1－1＝0，∴α＝0°.]直线的倾斜角【例1】一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°α90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.]求直线的倾斜角的方法及两点注意：1方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.2两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[跟进训练]-3-1．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个选项：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α，则直线l1的倾斜角可能的取值是()A．①②B．②③C．③④D．①④B[当α≥45°时，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选B.]求直线的斜率【例2】(1)已知点A(4，－5)，B(2，－3)，则直线AB的斜率kAB＝________；(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．[思路探究]利用直线的斜率公式求解．(1)－1(2)0[(1)kAB＝－3－－52－4＝2－2＝－1.(2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．当m≠3时，k＝－2－1m－3＝－3m－3＝1，解得m＝0.]1．熟记斜率公式是解答本题的关键．2．求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．[跟进训练]2．已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)．(1)求直线l的斜率；(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．[解](1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在．当m≠2时，直线l的斜率k＝2－1m－2＝1m－2.(2)∵α＝45°，∴k＝tanα＝1，∴1m－2＝1，即m－2＝1，∴m＝3.斜率的应用[探究问题]1．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值．-4-提示：∵A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC，∴3－－34－2＝k－35－4，解得k＝6.2．已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4,7)，试判断这三点是否共线？提示：∵kAB＝－1－－30－－1＝2，kAC＝7－－34－－1＝2，∴kAB＝kAC.∴直线AB与AC重合，∴点A，B，C共线．【例3】已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[思路探究](1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；(2)可采用数形结合法来解．[解](1)由斜率公式得kAB＝1－11－－1＝0，kBC＝3＋1－12－1＝3，kAC＝3＋1－12－－1＝33.∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°；tan60°＝3，∴BC的倾斜角为60°；tan30°＝33，∴AC的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围是33，3.1．将本例(2)中条件改为“若点D为BC边上的一动点”，其它条件不变，试求直线AD斜率k的变化范围．[解]依题意直线AD与BC始终有交点，所以kAB≤kAD≤kAC，所以0≤kAD≤33，所以直线AD斜率的范围为0，33.2．将本例(2)中条件改为“若点D为AC边上的一动点”，其它条件不变，试求直线BD斜率k的变化范围．[解]依题意，直线BD始终与AC有交点，所以应有kBD≥kBC或kBD≤kAB，-5-所以kBD≥3或kBD≤0.所以直线BD斜率的变化范围为(－∞，0]∪(3，＋∞)．1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．1．求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．2．求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．3．当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．1．思考辨析(1)任何一条直线都有斜率．()(2)斜率相等的两直线倾斜角相等．()(3)直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大．()[答案](1)×(2)√(3)×2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于()A．1B．4C．1或3D．1或4A[由题意，得kPQ＝4－mm＋2＝1，解得m＝1.]3．在平面直角坐标系中，直线AB的位置如图所示，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．30°33[根据倾斜角定义可知直线AB的倾斜角为30°，∴k＝tan30°＝33.]-6-4．如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率．[解]如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝BD＝1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC＝11＝1，kOA＝kBC＝0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为0°，0°，45°.又OC与AB倾斜角互补，则直线AB的倾斜角为180°－45°＝135°，直线AB的斜率kAB＝tan135°＝－1.