20202021学年高中数学第2章解析几何初步1直线与直线的方程12第2课时直线方程的两点式和一般式

-1-第2课时直线方程的两点式和一般式学习目标核心素养1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(重点)2.了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系．(难点)1.通过学习直线方程的两点式、截距式和一般式方程培养数学抽象素养.2.通过求解直线的方程及几种方程之间的互化提升数学运算素养.1．直线方程的两点式设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上的任意两点．(1)两点满足的条件：x1≠x2且y1≠y2.(2)形式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.思考1：直线的两点式方程是否表示所有直线？提示：直线的两点式方程不表示平行于坐标轴的直线．2．直线方程的截距式(1)形式：xa＋yb＝1.(2)a，b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距．思考2：直线方程的截距式是否可以表示所有的直线？提示：直线方程的截距式不表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线．3．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．1．过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是()A.y－5x－6＝y＋1x－2B.y－62－6＝x－5－1－5C.2－6y－6＝－1－5x－5D.x－62－0＝y－5－1－5B[代入两点式方程，得y－62－6＝x－5－1－5，故B正确．]-2-2．已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________．x3＋y2＝1[由直线方程的截距式，得x3＋y2＝1.]3．直线2x＋3y－6＝0的斜率是________，倾斜角是________(填“零”“锐”“直”或“钝角”)，在y轴上的截距是________，截距式方程是________．－23钝角2x3＋y2＝1[将方程化为斜截式得y＝－23x＋2，∴斜率k＝－23，倾斜角为钝角，在y轴上的截距为2，化为截距式方程为x3＋y2＝1.]直线方程的两点式和截距式方程【例1】求满足下列条件的直线方程．(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解](1)由两点式得y－3－1－3＝x＋24＋2，化简得2x＋3y－5＝0.(2)由截距式得x4＋y－5＝1，化简为5x－4y－20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为xa＋ya＝1.因为直线过点P(2,3)，所以2＋3a＝1，即a＝5.直线方程为x5＋y5＝1，即x＋y－5＝0.所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.1．已知直线上的两点坐标．应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解．2．若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便．[跟进训练]1．(1)直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________；(2)过点(0，－3)和(2,0)的直线的截距式方程为________；-3-(3)过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．(1)x－y＋3＝0(2)x2＋y－3＝1(3)x2＋y3＝1[(1)将(－1,2)和(2,5)代入y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，得y－25－2＝x＋12＋1，即y－23＝x＋13，∴直线l的方程为x－y＋3＝0.(2)因为直线在x轴，y轴上的截距分别为2，－3，由直线方程的截距式，得方程为x2＋y－3＝1.(3)设方程的截距式为xa＋yb＝1，则由题意得3b＝1，a＋b＝5，解得a＝2，b＝3，所以直线方程为x2＋y3＝1.]直线方程的一般式【例2】设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为－1；(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.[解析](1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－2k－3x＋2，由题意得－2k－3＝－1，解得k＝5.(2)直线l的方程可化为xk－3＋y2＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.1．一般式化为斜截式的步骤：(1)移项得By＝－Ax－C；(2)当B≠0时，得斜截式：y＝－ABx－CB.2．一般式化为截距式的步骤：方法一：(1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；(2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得Ax－C＋By－C＝1；-4-(3)化为截距式：x－CA＋y－CB＝1.方法二：(1)令x＝0求直线在y轴上的截距b；(2)令y＝0求直线在x轴上的截距a；(3)代入截距式方程xa＋yb＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，不会将一般式化为两点式和点斜式．[跟进训练]2．下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是()A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝0B[将一般式化为斜截式，斜率为－43的有B，C两项．又y＝－43x＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．]直线方程的综合应用[探究问题]1．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，能否得出不论a为何值，直线l总经过第一象限？提示：将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，∴直线l过点A15，35，而点A15，35在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．2．上述问题中，为使直线不经过第二象限，如何求a的取值范围．提示：要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－a－35≤0，∴a≥3.【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)求证：不论a取何值，直线l必过定点，并求出这个定点；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[解](1)证明：直线l的方程可变形为(a＋1)x＋y＋3－(a＋1)＝0.即y＋3＝－(a＋1)(x－1)．故不论a取何值，直线l恒过定点(1，－3)．-5-(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴－a＋1＞0，a－2≤0，或－a＋1＝0，a－2≤0.∴a≤－1.故a的取值范围是(－∞，－1]．若将本例中直线的方程变为“(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)”其它不变，该题应如何做．[解](1)证明：直线方程可变为a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0的形式，令3x－y＝0，x－2y＋1＝0，得x＝15，y＝35.∴不论a取何值，直线l必过定点15，35.(2)当斜率不存在，即a－2＝0时，a＝2，方程为x＝15，直线过第一、四象限，符合条件；当斜率存在时，则斜率应大于等于0，在y轴上的截距小于等于0，即3a－1a－2≥0，－1a－2≤0.解得a≤13或a＞2，a＞2.所以a＞2.综上，实数a的取值范围是[2，＋∞)．含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.这无穷多条直线是过同一个点的.这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键.1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求-6-直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．1．思考辨析(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)表示．()(2)直线方程的特殊形式都可以转化为直线方程的一般式，但一般式不一定能转化为每一种特殊形式．()(3)直线的一般式方程有A，B，C三个系数，所以需要由三个已知条件才能确定直线的一般式方程．()(4)直线的一般式方程中直线的斜率为－BA.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为()A．y＝x＋3B．y＝－x＋1C．y＝x＋2D．y＝－x－2A[代入两点式得直线方程y－14－1＝x＋21＋2，整理得y＝x＋3.]3．若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．m≠－3[若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0，解方程组m2＋5m＋6＝0，m2＋3m＝0，得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线．]4．求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．[解]①若直线过原点，则k＝－43，∴y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点，设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.