20202021学年高中数学第2章解析几何初步1直线与直线的方程13两条直线的位置关系教师用书教案北

-1-1.3两条直线的位置关系学习目标核心素养1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(重点)2.能根据直线平行或垂直求直线方程．(重点)1.通过利用直线的斜率和截距判断两直线平行或垂直提升数学抽象素养.2.根据直线平行或垂直求直线方程提升数学运算素养.两条直线的位置关系l1∥l2l1⊥l2l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系α1＝α2|α2－α1|＝90°图示斜率间的关系(若l1，l2的斜率都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2)若l1，l2的斜率都存在，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(如图①所示)；若l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合若l1，l2的斜率都存在，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1(如图③所示)；若l1，l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2⇔另一条直线的斜率为0(如图④所示)思考1：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等．思考2：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直D[设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则由题意得，k1k2＝－1，故l1与l2垂直．选D.]2．过点A(m,1)，B(－1，m)的直线与过点P(1,2)，Q(－5,0)的直线垂直，则m＝________.-2-－2[由题意得，直线AB的斜率存在且kAB·kPQ＝－1.即m－1－1－m×0－2－5－1＝－1，解得m＝－2.]3．与直线x－2y－3＝0平行，且在y轴上的截距等于－3的直线的方程为________．x－2y－6＝0[设所求直线方程为x－2y＋c＝0，令x＝0得y＝c2＝－3，所以c＝－6，因此所求直线方程为x－2y－6＝0.]两条直线平行与垂直的判定【例1】判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.[解](1)将两直线方程分别化为斜截式：l1：y＝－35x＋65，l2：y＝－35x－310.则k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－310.∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.(2)将两直线方程分别化为斜截式：l1：y＝12x＋73，l2：y＝－2x＋2.则k1＝12，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2；(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直．[跟进训练]-3-1．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．[解](1)k1＝1，k2＝2－12－1＝1，k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．(2)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－－1＝－1，k1＝k2，数形结合知，l1∥l2.(3)k1＝－10，k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝40－4010－－10＝0，则l2∥x轴．∴l1⊥l2.利用平行、垂直关系求直线方程【例2】已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[解]法一：(1)由l：3x＋4y－20＝0，得kl＝－34.设过A点且平行于l的直线为l1，则kl1＝kl＝－34，所以l1的方程为y－2＝－34(x－2)，即3x＋4y－14＝0.(2)设过点A与l垂直的直线为l2.因为kl·kl2＝－1，所以kl2＝43，故直线l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.由点A(2,2)在直线l1上，得-4-3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.(2)设l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2，故l2的方程为4x－3y－2＝0.过点Ax0，y0且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法：1先求斜率斜率存在时，再用点斜式求直线方程.2与Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程设为Ax＋By＋m＝0或Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点Ax0，y0求出m，便可得到直线方程.[跟进训练]2．已知直线l的方程为3x－2y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．[解](1)由l′与l平行，可设l′方程为3x－2y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式，得m＝9，∴所求直线方程为3x－2y＋9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′方程为2x＋3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式，得n＝－7，∴所求直线方程为2x＋3y－7＝0.平行、垂直关系的综合应用[探究问题]1．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．提示：kAB＝m－0－5－m＋1＝m－6－m，kCD＝5－30－－4＝12.由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以m－6－m＝12，所以m＝－2.2．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，试确定m的值，使△ABC是以A为直角顶点的三角形．提示：因为A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即m＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m＝－7.-5-【例3】已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求点D的坐标；(2)试判断▱ABCD是否为菱形．[思路探究]利用平行或垂直的条件建立方程求解．[解](1)设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，∴0－25－1＝b－4a－3，b－2a－1＝4－03－5，解得a＝－1，b＝6，∴D(－1,6)．(2)∵kAC＝4－23－1＝1，kBD＝6－0－1－5＝－1，∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形．1．本例条件不变，试求△ABC中平行于边AB的中位线所在直线方程．[解]设所求中位线所在直线方程的斜率为k，AC中点为E.则k＝kAB＝0－25－1＝－12，E(2,3)，∴由点斜式方程得：y－3＝－12(x－2)，即x＋2y－8＝0.2．本例条件不变，试求△ABC中BC边上的高线所在直线方程．[解]设BC边上的高线的斜率为k，则k＝－1kBC＝－14－03－5＝12.又BC边上的高线过点A(1,2)，∴所求直线方程为y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0.1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.-6-两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为－1垂直1．思考辨析(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．()(2)斜率相等的两条直线一定平行．()(3)若k1·k2≠－1，则两直线必不垂直．()(4)如果两直线垂直，则这两直线的斜率k1，k2满足k1k2＝－1.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．若直线2ay－1＝0与直线(3a－1)x＋y－1＝0平行，则实数a等于________．13[因为两直线平行，所以3a－1＝0，即a＝13.]3．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．145[由已知得m－32－m×(－4)＝－1，解得m＝145.]4．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(1，－4)，与直线2x＋3y＋5＝0平行；(2)过点A(1，－4)，与直线2x－3y＋5＝0垂直．[解](1)设所求直线方程为2x＋3y＋C1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，所以所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.(2)设所求直线方程为3x＋2y＋C2＝0，由题意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，所以所求直线方程为3x＋2y＋5＝0.