20202021学年高中数学第2章解析几何初步阶段综合提升第2课直线方程教师用书教案北师大版必修2

-1-第2章解析几何初步第2课直线方程[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]直线的倾斜角与斜率【例1】已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．[解]根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA的斜率kPA＝－32，直线PB的斜率kPB＝43，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为43，＋∞，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是－∞，－32.综上可知，直线l的斜率的取值范围是－∞，－32∪43，＋∞.1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．-2-3．涉及直线与线段有交点问题，常用数形结合利用公式求解．[跟进训练]1．直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．[解]设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以k1＝－1－2－2－3＝35，k2＝－2－24－3＝－4，k3＝2－2－3－3＝0.由k10知，直线l1的倾斜角为锐角；由k20知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.直线方程的五种形式【例2】(1)已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为()A．y＝x＋2B．y＝x－2C．y＝－x＋2D．y＝－x－2(2)经过点M(2,1)，且过直线l1：2x＋3y－6＝0与l2：x－2y＋4＝0的交点的直线l的一般式方程为________．(1)A(2)x＋2y－4＝0[(1)∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan45°＝1，由斜截式可得直线方程为y＝x＋2.(2)由2x＋3y－6＝0，x－2y＋4＝0，得两条直线的交点为(0,2)．根据直线的两点式方程y－22－1＝x－00－2，可得直线l的一般式方程为x＋2y－4＝0.]直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.[跟进训练]2．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．[解]法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足4x0＋y0＋3＝0，3－2－x0－54－y0－5＝0，-3-即4x0＋y0＋3＝0，3x0－5y0＋31＝0，解得x0＝－2，y0＝5，因此直线l的方程为y－25－2＝x－－1－2－－1，即3x＋y＋1＝0.法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由kx－y＋k＋2＝0，4x＋y＋3＝0，得x＝－k－5k＋4，由kx－y＋k＋2＝0，3x－5y－5＝0，得x＝－5k－155k－3.则－k－5k＋4＋－5k－155k－3＝－2，解得k＝－3.因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.法三：两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程.两直线的位置关系【例3】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0，①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，-4-∴l1的斜率也存在，ab＝1－a，即b＝a1－a.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋4a－1a＝0，l2：(a－1)x＋y＋a1－a＝0.∵原点到l1与l2的距离相等，∴4a－1a＝a1－a，解得a＝2或a＝23.∴a＝2，b＝－2，或a＝23，b＝2.考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.[跟进训练]3．(1)经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程为()A．9x＋18y－4＝0B．18x－9y－193＝0C．x＋2y－4＝0D．2x－y－4＝0(2)直线l1过点A(m,1)和点B(－1，m)，直线l2过点C(m＋n，n＋1)和点D(n＋1，n－m)，则直线l1与l2的位置关系是()A．重合B．平行C．垂直D．无法确定(1)A(2)C[(1)设要求的直线方程为：2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0，化为(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋(λ－5)＝0.因为要求的直线平行于直线x＋2y－3＝0，所以2＋7λ1＝3＋5λ2≠λ－5－3，解得λ＝1，所以要求的直线方程为：9x＋18y－4＝0.(2)①当m＝1时，直线l1过点A(1,1)和点B(－1,1)，直线l2过点C(1＋n，n＋1)和点D(n-5-＋1，n－1)，此时直线l1的斜率k1＝0，直线l2的斜率不存在，因此l1⊥l2；②当m＝－1时，直线l1过点A(－1,1)和点B(－1，－1)，直线l2过点C(－1＋n，n＋1)和点D(n＋1，n＋1)，此时直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝0，因此l1⊥l2；③当m≠±1时，直线l1的斜率k1＝m－1－1－m，直线l2的斜率k2＝－m－11－m，此时k1·k2＝－1，因此l1⊥l2.综上可知，直线l1与l2的位置关系是垂直．]对称问题[探究问题]1．试求点(－2,3)关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标．提示：在平面直角坐标系中(－2,3)关于x轴对称的点坐标为(－2，－3)，关于y轴的对称点的坐标为(2,3)，关于原点对称的点的坐标为(2，－3)．2．试求：l1：2x＋y－1＝0关于直线y＝x对称的直线方程．提示：线的对称问题转化为点的对称问题，设所求直线上的任一点(x，y)，点(x，y)关于y＝x的对称点坐标为(y，x)在已知直线l1上，代入直线方程得x＋2y－1＝0.故所求直线方程为x＋2y－1＝0.【例4】已知直线l：y＝3x＋3，试求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程．[解](1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l.即y′＋52＝3·x′＋42＋3，y′－5x′－4·3＝－1，解得x′＝－2，y′＝7.∴P′点的坐标为(－2,7)．(2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立．∴x1＋x32＝3，y1＋y32＝2，解得x1＝6－x3，y1＝4－y3，代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.即l3的方程为3x－y－17＝0.将本例变为求直线x－y－2＝0关于l：3x－y＋3＝0对称的直线方程．-6-[解]由x－y－2＝0，3x－y＋3＝0得交点P－52，－92.取直线x－y－2＝0上一点A(0，－2)，设A点关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为A′(x0，y0)．则根据kAA′·kl＝－1，且线段AA′的中点在直线l：3x－y＋3＝0上，有y0＋2x0－0×3＝－1，3×x02－y0－22＋3＝0，解得x0＝－3，y0＝－1.故所求直线过点－52，－92与(－3，－1)．∴所求直线方程为y＋92＝－1－－92－3－－52x＋52.即7x＋y＋22＝0.1．对称点坐标，由中点坐标公式可解决关于点的对称问题，已知点P(a，b)可得对称点坐标如下，P关于y轴的对称点P1(－a，b)，P关于x轴的对称点P2(a，－b)，P关于原点的对称点P3(－a，－b)．2．点关于直线对称，直线l外一点P1(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点P2(x2，y2)的坐标由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0y2－y1x2－x1·－AB＝－1B≠0决定．3．直线关于直线对称，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程可转化成“点对称于线问题”求解．