课后习题及答案-第7章有限脉冲响应数字滤波器设计--习题答案

1第7章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计习题答案1.解解解解：（1）由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：由于N=6为偶数(情况2)，所以幅度特性关于ω=π点奇对称。（2）由题中h(n)值可知，h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：由于7为奇数(情况3)，所以幅度特性关于ω=0,π,2π三点奇对称。2.解解解解：因为N=16是偶数（情况2），所以FIR滤波器幅度特性Hg(ω)关于ω=π点奇对称，即Hg(2π－ω)=－Hg(ω)。其N点采样关于k=N/2点奇对称，即Hg(N－k)=－Hg(k)k=1,2,…,15综上所述,可知其余7个频域幅度采样值：Hg(15)=－Hg(1)=－8.34，Hg(14)=－Hg(2)=－3.79，Hg(13)~Hg(9)=03.解:对FIR数字滤波器，其系统函数为所以其单位脉冲响应为由h(n)的取值可知h(n)满足：h(n)=h(N－1－n)N=5所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数H(ejω)为ωωωθ5.221)(-=--=Nωωωθ32π212π)(--=---=N∑-=-----++++==104321)9.01.29.01(101)()(NnnzzzzZnhzH{}1()1,0,9,2.1,0.9,110hn=∑-=-==10j)(jgje)(e)()e(NnmnhHHωωθωω]ee9.0e1.2e9.01[1014j3j2jjωωωω----++++=ωωωωω2j2jjj2je)ee9.01.2e9.0e(101---++++=2幅度特性函数为相位特性函数为4.解：（1）（2）为了满足线性相位条件，要求，N为矩形窗函数长度。因为要求过渡带宽度Δβ≤rad,所以要求≤,求解得到N≥32。加矩形窗函数,得到h(n)：≤≤（3）N取奇数时，幅度特性函数Hg(ω)关于ω=0,π,2π三点偶对称，可实现各类幅频特性；N取偶数时，Hg(ω)关于ω=π奇对称，即Hg(π)=0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。5.解解解解:（1）直接用IFT［Hd(ejω)］计算：ωωω2je)2cos2cos8.11.2(101-++=102cos2cos8.11.2)(gωωω++=Hωωωθ221)(-=--=Nccπjjjjddπc11()(e)edeed2π2πsin[()]π()nnhnHnnωωωωαωωωωωαα----==-=-∫∫21-=Na8π8πN4π)()()](sin[)()()(cdnRanannRnhnhNN--=⋅=πω-=---=nNaNnanan其它021,10)(π)](sin[cωπjjddπ1()(e)ed2πnhnHωωω-=∫ccπjjjjπ1eedeed2nnωωαωωαωωωω----=+∫∫ccπj()()π1eded2πnjnωωαωαωωω----=+∫∫ccj()j()jπ()jπ()1[eeee]2π()nnnnnaωαωααα------=-+--)]}(sin[)](π{sin[)(π1cαω----=nanan)(π)](sin[)(δcananan----=ω3hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应。而δ(n－α)对应于一个线性相位全通滤波器：Hdap(ejω)=e－jωα即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示h(n)的长度，则h(n)=hd(n)RN(n)=为了满足线性相位条件：h(n)=h(N－1－n)要求满足（3）N必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），H(ejπ)=0，不能实现高通。根据题中对过渡带宽度的要求，N应满足：≤,即N≥40。取N=41。6.解：（1）上式第一项和第二项分别为截止频率ωc+B和ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应。所以，上面hd(n)的表达式说明，带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。（2）h(n)=hd(n)w(n)为了满足线性相位条件，α与N应满足实质上，即使不要求具有线性相位，α与N也应满足该关系，只有这样，才能截取hd(n)的主要能量部分，使引起的逼近误差最小。（3）N取奇数和偶数时，均可实现带通滤波器。但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8π/N，所以，要求≤，即要求N≥128。7.解解解解:（1）由题意可知--)(π)](sin[cananω)()(π)](sin[)(δcnRnnnN----ααωα12Nα-=N4π10ππjjddπ1()()ed2πnhnHeωωω-=∫ccccjjjj()1eedeed2πBamanBωωωωωωωωωω-+---+=+∫∫)(π)](sin[)(π)])(sin[(ccananananB-----+=ωωccsin[()()]sin[()]2π0.540.46cos()π()π()1NBnananRnnanaNωω+--=-----12Nα-=16πN8π4对h1(n)进行傅里叶变换,得到上式说明H1(ejω)就是H(ejω)平移±π的结果。由于H(ejω)为低通滤波器，通带位于以ω=0为中心的附近邻域，因而H1(ejω)的通带位于以ω=±π为中心的附近，即h1(n)是一个高通滤波器。这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为［π－ωc,π］）：①设计一个截止频率为ωc的低通滤波器hLp(n)。②对hLp(n)乘以cos(πn)即可得到高通滤波器hHp(n)cos(πn)=(－1)nhLp(n)。(2)与(1)同样道理，代入h2(n)=2h(n)cosω0n,可得因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ，且H2(ejω)为H(ejω)左右平移ω0，所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处，所以h2(n)具有带通特性。这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。8.解解解解：（1）由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系：h2(n)=h1((n+4))8R8(n)由DFT的循环移位性质可得(2)由题8图可知，h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件：h1(n)=h1(N－1－n)h2(n)=h2(N－1－n)所以，用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。直接计算FT［h1(n)］)(]ee[21)()πcos()()1()(jjπ1nhnhnnhnhnnnπ-+==-=mnnnnmnhhHωππωωjjjj1j1e]ee)(21e[)e(--∞-∞=∞-∞=-∑∑+==]e)(e)([21)π(j)π(j∑∑∞-∞=+-∞-∞=--+=nnnnnhnhωω)]e()e([21)π(j)π(jnHH+++=ωω2)e()e()e()(j)(jj200ωωωωω+-+=HHH)()1()(e)()(11j1482kHkHkHWkHkkk-===-π|)(||)(||)(|11482kHkHWkHk==-5和［h2(n)］也可以得到同样的结论。设所以，群延时为9.解解解解：我们知道，根据阻带最小衰减选择窗函数类型，根据过渡带宽度计算窗函数长度。参见教材第211页中表7.2.2。结合本题要求和教材表7.2.2，选择结果如下：（1）矩形窗满足本题要求。过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=200π/12000=π/60，精确过渡带满足：1.8π/N≤π/60，所以要求N≥1.8×60=108。（2）选哈明窗，过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=4000π/20000=π/5，精确过渡带满足：6.6π/N≤π/5，所以要求N≥6.6×5=33。（3）选哈明窗，过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=1000π/5000=π/5，精确过渡带满足：6.6π/N≤π/5，所以要求N≥6.6×5=33。解解解解:(1)希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ejω)为其中,a=(N－1)/2=10。(2)由Hd(ejω)求得hd(n)：(3)加窗得到FIR滤波器单位脉冲响应h(n)：·升余弦窗:)(jg11j11e)()]([FT)e(ωθωωHnhH==)(jg22j22e)()]([FT)e(ωθωωHnhH==ωωωθωθ27)1(21)()(21-=--==N27d)(d112=-==ωωθττjjdπe0||4(e)π0||π4aHωωωω-=π4j10jdπ/4πsin(10)14()eed2ππ(10)nnhnnωωω----==-∫Hn2π()0.51cos()1NwnRnN=--Hnd21πsin(10)2π4()()()1cos()2π(10)20nnhnhnwnRnn-==--6·改进升余弦窗：·布莱克曼窗:11.解解解解:方法一将题10解答中的逼近理想低通滤波器(Hd(ejω)、hd(n))改为如下理想高通滤波器即可。上式中δ(n－10)对应于全通滤波器。上式说明，高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低通滤波器的单位脉冲响应。仿照10题，用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd(n)加窗即可。计算与绘图程序与题10解中类同，只要将其中的h(n)用本题的高通h(n)替换即可。方法二根据第7题（1）的证明结论设计。（1）先设计通带截止频率为π/4的低通滤波器。对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR(n)、hHn(n)、hHm(n)和hBl(n)。(2)对低通滤波器单位脉冲响应乘以cosπn可得到高通滤波器单位脉冲响应：·矩形窗：·升余弦窗：Hm2π()0.540.46cos()1NnwnRnN=--HmHm21πsin(10)2π4()()()0.540.46cos()p(10)20dnnhnhnwnRnn-==--BldBl()()()hnhnwn=)(20π4cos08.020π2cos5.042.0)10(π)10(4πsin21nRnnnn+---==-4π3||00π||4π3e)e(10jjdωωωωHωωd)e(π21)(ππjdd∫-=Hnhωωωωωdeedeπ21jπ4/π310j10j4/π3πm∫∫----+=)10(π)10(4π3sin)10(π)]10(πsin[-----=nnnn3πsin(10)4δ(10)π(10)nnn-=---)()πcos()10(π)]10(4πsin[)πcos()()(21R1nRnnnnnhnh--==7·改进升余弦窗：·布莱克曼窗：12.解解解解:(1)由于连续信号存在微分，而时域离散信号和数字信号的微分不存在，因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器，即用数字差分滤波器近似模拟微分器。下面先推导理想差分器的频率响应函数。设模拟微分器的输入和输出分别为x(t)和y(t)，即令x(t)=ejΩt，则y(t)=jkΩeΩt=jkΩx(t)对上式两边采样（时域离散化），得到其中ω=ΩT。将x(nT)和y(nT)分别作为数字微分器的输入和输出序列，并用Hd(ejω)表示数字理想微分器的频率响应函数，则即根据题12图所给出的理想特性可知所以应取k=T，所以Hd(ejω)=jω取群延时τ=(N－1)/2，则逼近频率响应函数应为Hd(ejω)=jωe－jωτ=ωe－j(ωτ－π/2)2HnHn()()cos(π)(1)()nhnhnnhn==-)()πcos(20π2cos1)10(π2)]10(4πsin[21nRnnnn---=)πcos()()(Hn3nnhnh=)()πcos(20π2cos46.054.0)10(π)]10(4πsin[21