信号处理与与数据分析一纸开卷

第一章：信号与系统的基本概念与原理信号：信息的载体，而信息则是信号的具体内容。系统：对信号的处理过程，将输入信号变为输出信号。连续时间信号：在给定的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定性的函数值。常记为x(t)。离散时间信号：仅定义在离散的时间点上，即其时间变量仅在一个离散集上取值。常记为x[n]。离散时间复指数信号特例：①随频率变换的周期性②随时间变化的周期性：整数m使得Nm20为一有理数，N为基波周期连续时间单位冲激信号与单位阶跃信号1.采样性质：2.筛选性质：离散时间单位冲激信号与单位阶跃信号1.采样性质：2.筛选性质：连续时间系统：若系统的输入信号和输出信号均为连续时间信号，且系统内部也未将输入的连续时间信号转换为离散时间信号，称这类系统为连续时间系统。离散时间系统：若系统的输入输出都是离散时间信号，则称这类系统为离散时间系统。无记忆系统：如果系统的输出（在给定时刻）仅取决于在相同时刻的输入，则系统无记忆因果系统：在给定时刻的输出仅取决于相同时刻及以前时刻的输入，则称为因果系统。稳定性：有界的输入导致有界的输出。时不变性：系统的参数不随时间变化。判断方法：1.只要信号x(t)的系数不为1，必为时变系统2.若信号x(t)的系数含有t，必为时变系统线性：系统满足叠加性和均匀性。（可加性和齐次性）。线性时不变系统：既满足线性性质，又满足时不变性质的系统。可逆系统与不可逆系统：不同的输入产生不同的响应连续时间LTI系统的卷积积分计算：离散时间LTI系统的卷积积分计算：LTI系统的因果性：即：系统单位冲激响应的全部非零值仅出现在其特性曲线坐标原点的右半边，则系统是因果的。第二章：傅里叶理论与信号系统的频域分析1、连续时间周期信号的傅里叶级数2、离散傅里叶级数：3、连续时间信号傅里叶变换：4、离散时间傅里叶变换：各类傅里叶变换的时域/频域关系连续←————————→非周期离散←————————→周期第三章：拉普拉斯变换和z变换性质：若信号x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，且若x(t)为右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极点的右边，若x(t)为左边信号，则其ROC在s平面上位于最左边极点的左边。若ROC位于极点i-as的右边，则：tuAtaietxii若ROC位于极点i-as的左边，则：tuAtaietxii因果性：1（必要条件）一个因果系统的系统函数H(s)的ROC是某个右半s平面。2.（充要条件）若系统函数H(s)是有理的，则系统的因果性能等效于ROC位于最右边极点的右边的右半s平面稳定性：1.当且仅当系统函数H(s)的ROC包含纵轴时，则是稳定的2.当且仅当H(s)的全部极点都位于左半s平面时，有理因果系统是稳定性质：若x(n)的z变换X(z)是有理的，且若X(n)是左边序列，则其ROC位于Z平面最里层极点的里边，若x(n)为右边序列，则其ROC位于z平面内最外层极点的外边。若ROC在极点所对应的圆的外面，则：()()niiixnAaun若ROC在极点所对应的圆的里面，则：()(1)niiixnAaun因果性1°离散LTI系统，当且仅当其()Hz的ROC在某一圆外，且包含无穷远点，则该系统是因果的。2°一有理离散LTI系统是因果的，当且仅当（a）ROC位于最外层极点外某一圆外面，（b）若表示成z的多项式之比，其分子的阶次不高于分母的阶次。稳定性1°一LTI系统当且仅当其()Hz的ROC包含单位圆时，该系统是稳定的2°一个具有有理系统函数()Hz的因果LTI系统，当且仅当()Hz的全部极点都在单位圆内，系统是稳定的。系统的基本互连方式：第四章：连续信号的离散化与离散信号的连续化单位冲激序列采样定理：设x(t)为一个带限信号，当|Ω|ΩM时，其频谱X(jΩ)=0,若满足ΩS=2ΩM，则x(t)可以唯一地由其样本x(nT)(n=0,±1，±2)所确定。ΩS=2ΩM称为采样频率，奈奎斯特频率。采样后，不丢失数据的恢复原始信号的条件：1.原始连续时间信号x(t)是带限的，2.采样频率要满足高于信号最高频谱分量ΩM的2倍。频谱混叠：对连续信号进行等间隔采样时，若不满足采样定理，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号，这种频谱的重叠导致的失真称为频谱混叠。避免：使信号的采样过程满足采样定理的要求。采样定理的俩层含义：1.待采样信号必须是有限带宽的，2采样频率必须足够高，满足ΩS2ΩM。频谱：是频率的分布曲线，复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡（谐波），这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。频域分析好处：通过傅里叶级数或傅里叶变换将信号或系统有时间域变换到频率域，对于信号与系统的分析有诸多好处：首先，在频率域，我们可以更方便地分析信号与系统的频率特性，掌握信号与系统频谱方面的信息；第二，在时间域进行的系统求解即卷积运算，在频域进行可以得到显著的化简；第三，信号滤波与通信技术中的很多问题，只有在频率域才能分析解释得更为清晰。2滤波器，是指对信号有处理作用的电路或算法。滤波即是利用滤波器将信号中特定频段的成分滤除的操作，是抑制与消除噪声与干扰的重要手段。理想滤波器：能使通频带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内频率成分都衰减为零的滤波器3.插值：在离散时间信号样本点的基础上补充连续曲线，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点，进而估算出曲线在其他点处的近似值。方法：多项式插值、多项式插值、分段插值与样条插值、三角函数插值。4.拟合：将寻找一条曲线，并不要求该曲线严格通过所有基点，但所有基点都与该曲线相当贴近。方法：最小二乘准则的线性拟合和多项式拟合以及样条函数拟合。5.最小二乘拟合：它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，可使求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小。第五章：离散傅里叶变换与快速傅里叶变换定义加窗函数：101101()()00NNnNkNRnRknk，，或，其它，其它DFT改写：1010()()()()()1()()()()()NnkNNNnNnkNNNkXkxnWRkXkRkxnXkWRnxnRnN性质：线性：圆周位移：()(())()()()mNNNxnxnmRnxnmRn若：DFT()()xnXk则：()DFT()()mkmmNXkxnWXk对偶：若：DFT()()xnXk则：DFT()(())()(())()NNNNXnNxkRkNxNkRk帕色伐尔定理：若：DFT()()xnXk则圆周卷积和性质若1122DFT()(),DFT()()xnXkxnXk，12()()()YkXkXk则：1120()IDFT()()(())()NNNmynYkxmxnmRn1210()(())()NNNmxmxnmRn圆周相关性质若DFT()(),DFT()()xnXkynYk，*()()()xyRkXkYk则：1*0()IDFT()()(())()NxyxyNNnrmRkynxnmRm1*0()(())()NNNnxnynmRm取实部：Re[x(n)],取虚部：jIm[x(n)],频率分辨率：时间分辨率：通过时窗所看到时间的宽度；频率分辨率：通过频窗所看到频率的宽度；或能将信号中两个靠的很近的频谱分开的能力。信号补0作用1.补零可以改善由DFT得到信号频谱的计算分辨率，使信号频谱看起来更光滑；2.在DFT或FFT算法中，若通过补零使信号序列长度等于2的正整数幂，计算效率比较高；3.在利用DFT或FFT快速计算离散线性卷积时，通常需要将信号补零至一定长度。信号的时宽与频宽不可能同时缩小，也不可能同时扩大，也不能同时为有限值。测量方法：1.实对称、非递增的信号/211/2()/(0),()d/(0)ssffnTWxnxFWXffXTW1▪FW1=12./2/22222222222/2/2()|()|/|()|,()|()|d/|()|dssssffffnnTWnxnxnFWfXffXff不确定原理：TW1▪FW1≥1/4π频谱泄漏：截断信号的能量扩散到无穷宽的频带中去，称为频谱泄漏。原因：在实际应用中，观测信号总是要限制在一定的时间范围内，这相当于信号1()xn与矩形窗函数()wn相乘，时域乘积对应于频域卷积，卷积的结果使1()xn的频谱j2(e)X相对于j1(e)X展宽。危害：1.泄露造成频谱失真，不能反映原始信号的真实频谱特性；2.由于离散信号频谱的周期性，泄露可能造成频率混叠。减小泄漏的方法1.尽量选取较长的信号序列；2.一定要加窗时，尽量不要使用矩形窗，采用两端缓慢变化的窗函数，使得频谱的旁瓣能量更小，以减少频谱泄露的程度。栅栏效应：因DFT的谱是限制在离散点上的频谱，是一种限制为基频0整数倍处的谱，而不是连续的频谱。就像通过“栅栏”观看景象一样，只能在离散点处看到真实景象，称为栅栏效应。减小栅栏效应的方法：增加频域采样点数N，在不改变时域数据的情况下补0，频率采样为2/kN，随着N增大，导致采样点更近，谱线更密集。频率混叠问题：若采样定理sf2maxf不满足，则产生混叠，即频率响应周期延拓分量互相重叠，若信号的频谱无限宽，则需要抗混叠滤波器进行预处理，可选占信号能量98%左右的频带宽度的maxf作为信号的最高频率，从而进一步确定采样频率sf。快速傅里叶变换：第六章：数字滤波器与数字滤波器设计数字滤波器的系统函数时域差分方程为：若ak=0，k=1,2,…N，为有限冲激响应滤波器（FIR）反之，则称为无限中级响应滤波器（IIR）FIR数字滤波器：，在1.其单位脉冲响应具有有限个非零值；2.对于因果FIR滤波器，其系统函数H（z）在整个z平面上没有极点；3.这种滤波器的实现主要采用非递归结构。线性相位FIR滤波器结构：若()hn为系统，01nN且满足：偶对实称()(1)hnhNn奇对称()(1)hnhNn其对称中心在12N则具有严格的线性相位。IIR滤波器设计的冲激响应不变法：原理思路：该方法是用数字滤波器的单位冲激响应()hn模仿模拟滤波器的单位冲激响应()gt对模拟滤波器的g()t进行等间隔采样，使()hn正好等于()gt的采样值，即满足：()()hnTgnT。公式：，只适用于频率有限信号，不适用于高通、带阻滤波器。方法归纳：IIR滤波器设计的双线性变换法：原理：使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。双线性变换：C值的选取：1.低频处：2CT，2.某一特定频率，cot/2ccC，由：aHsHz优缺点：避免了频率混叠。但Ω和ω之间存在严重的非线性，可能会使数字滤波器的幅频特性产生畸变。解决方法：频率非线性预畸变技术。优点：避免了频率混叠问题缺点：当Ω值远离0频率时，可能会使数字滤波器的幅频特性产生畸变FIR数字滤波器设计窗函数法：基本思路：1.给定理想FIR2.设计一个有限脉冲响应滤波器h(n)，使其频率特性使h(n)逼近hd(n)3.设计在时域进行，也需要进行时域-频域的转换方法：1.给定求解2.加窗处理：3.矩形加窗后单位脉冲响应的频率特性设w(n)=Rn(n),考虑线性相位理想低通滤波器的频率特性经傅里叶反变换，可以求出hd(n)不满足有限时宽要求，需要加窗截断，同时考虑线性相位条件。有：由傅里叶变换的频率卷积性质，有加窗所引起的问题：引起吉布斯现象；频谱泄露解决办法：1.窗谱主瓣尽可能窄，获得较陡的过渡带2.尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，使肩缝和波纹减少窗函数的选择准则：1.在选择窗函数时，要求窗函数频谱特性的主瓣尽可能窄，从而使其与理想滤波器进行卷积运算时，获得较陡峭的过渡带2.要尽量减小窗函数频谱最大旁瓣的相对幅度，使窗函数的能