七年级上数学(适合辅导孩子)

七年级上册数学数与数轴一、复习小学关于数的知识及运算1、自然数定义:表示物体个数及顺序的数，如0,1,2,3,4,5，……..无穷多个。特别地规定：0是最小的自然数。2、分数定义：把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。如：15,27。分数可以表示为一个出发算式：如12表示为12。或者12=12。3、小数定义：把10进分数按照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数。如2.13，其中2是整数部分，0.13是小数部分。整数部分不为零的小数叫做带小数，整数部分为0的小数叫做纯小数，如：0.25。任何一个小数都可以表示为：整数部分+小数部分。任何一个分数都可以用小数表示：如1=0.3333.....3计作：0.3。411111=0.8,=0.125,=0.5,=0.25,=0.16,=0.142857582467。4、运算规则：先乘除，后加减。有括号先算括号里面的。如：43+8-(5+3)2=______。运算定律：交换律：,abbaabba,问题：1万亿和1亿万哪个多？加法对乘法的结合律：()abcabac，反之也成立：()abacabc5、奇数：不能被2整除的数为奇数如：1，3,5,7,9,11……..也可以表示为2n+1（n为0,1，2,3,4,5,6…….）如果要表示为2n-1，则n为1,2,3,4……...。偶数：能被2整除的书为偶数，如2,4,6,8,10……表示为2n，n为1,2,3,4,5,6……。特别地规定：0是偶数，所以上面表示偶数的2n中的n也可以为0。倒数：乘积为1的两个数则互为倒数，可以表述为：如果1ab，则,ab互为倒数。其中,ab均不能为0。注意：0没有倒数。思考：11aa如果0a1,则1如果a1,则1101aa如果-1a,则1如果a-1,则1求和问题：1）自然数求和：(1)1+2+3+4++n=2nn2）奇数求和：2(211)(1)(22)(1)1357(21)(1)22nnnnnn（注意：n从0开始）2(211)21357(21)(:1)22nnnnnnn注意从开始解题方法：头加尾，乘以个数除以23）偶数求和：(1)24622(123)2(1)2nnnnnn（其中n为自然数）4）11111++2233445(1)nn解：同理可解（试一试）：1111++)133557(21)(21)nn其中n=1,2,311111++)1212312341234n其中n=1,2,31111++)2242462462n其中n=1,2,311111++2233445(1)111111111(1)()()()()2233445(1)11111111112233445(1)11(1)(11)(1)(1)nnnnnnnnnnn二、数的扩充1、负数生活中为了表示具有相反意义的量（数量），对数的概念进行了扩充，从而引进了负数。比0小的数叫做负数。如下图：某人从某一点A向东走了5米计作5的话，那么向西走了5米则可计作-5。对应的向东走5米可计作+5，一般省略+号。生活中有很多相反意义的数量如：天气预报，今日气温零下5度到3度，可表示为-5℃~3℃，零下的就用负数表示。在生活中，你还能举出具有相反意义的数量吗？2、相反数因为负数产生就是为了表示具有相反意义的量。因此，如上图中的+5和-5就互为相反数。规定：0的相反数为0.a的相反数可以表示为–a。如：3的相反数是-3.12的相反数是-12。-5的相反数是5。-13的相反数是13互为相反数的两个数之和为0。即：若a,b互为相反数，则a+b=0证明如下：对于以上结论反过来也成立，即：如果0,,abab如果那么互为相反数。试证明：abba与互为相反数3、有理数A东西,()00abbaabaaab互为相反数，则有理数正整数正分数负整数负分数0注意：1）0和正整数合称为自然数，0是最小的自然数2）任何循环小数都可以表示为一个分数。4、数的乘方1）定义aaaaa表示:n个相同数的乘积。记作：,nnaana读作的次方，或者a的n次幂。其中a叫底数，n叫指数，的结果叫幂。2）乘方运算法则：相加：34nnnaaa（相同的幂，系数不同，则幂不变，系数相加。）23mnmnaaa×32nnnaaa√乘法：mnmnaaa（底数相同，指数不同的两个幂相乘，则底数不变，指数相加）算一算：1234100aaaaa？除法：mnmnaaa（底数相同，指数不同的两个幂相乘，则底数不变，指数想减）算一算：20202017aa？乘方的乘方：()mnmnaa（底数不变，指数相乘）算一算：32(2)？，23(2)？，观察结果。说明()()mnnmmnaaa，因为乘法有交换律。牢记：负数的奇数次方为负数3(3)27负数的偶数次方为正数4(3)810的任何次方等于000n1的任何次方等于111n任何不为0的数的0次方等于101a00是不存在或没有意义的n个以上结论能证明吗？当指数为负数时表示什么？3的-2次方即23？，我们现在来计算：因此：1nnaa（0a）证明如下：由上面推导中有01nnnnaaaa，因此nnaa和互为倒数。练习：-3-2-253-5=-=-3=-(3)（），（），思考题：当a≤0,则a20,a30当a≥0,则a20,a30如果a,m,n为大于1的正整数且m＜n,那么1mnaa如果0＜a＜1,m,n为大于1的正整数且m＜n，那么1mnaa证明：如果0a，1a且mnaa和互为倒数，m和n互为相反数。乘方练习题（有难度哦）0200-2-22-2313931=3=3=3913=9两式相除则：因此：01,1=1=nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa0,两边同时除以则有：12212332122017201720179999201713108,448,3336,27373996,57,53mmnnmmmmmmabcmnm、已知：3求的值。2、已知2求的值3、若22求的值4、已知：a,b,b2为正整数，且4求（a-b-c)、判断下列各数的个位数22222134319972200111234321423,4(0.25)823243,52510,1)(1)(1)(1)1110252000,802000,nnnnxxxxabcdxynaaadbcxy6、已知求的值7、计算（-2a)、若3求x的值9、已知2求证（、已知求的值5、有理数的运算有理数加法：同号相加，取原来的符号，并把绝对值相加-3+(-2)=-(3+2)=-5异号相加，取绝对值大的符号，用大的绝对值减去小的绝对值。-3+(5)=+(5-3)=+2任何数加0等于任何数：0aa有理数减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，表示为：()abab如：5(2)527，5(3)53(53)2有理数乘法：同号相乘为正，异号相乘为负，并把绝对值相乘。任何数乘以0为0如：5(3)(53)15，510(510)50任何数乘以0为0，表示为：00a有理数除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数.如：1100101001010，111842822nnnnnaaaaa（nnaa和互为倒数）有理数混合运算：先乘方，在乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。（括号里面也要先乘方，在乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的）5232(1539)如：55532(1599)32(151)321433214351421（注意演算过程）计算：317911()(2)3122030？绝对值与数轴一、数轴定义：用一条直线上的点来表示数，这条直线就叫数轴数轴有三个要素：1、规定了原点，代表02、规定了正方向，一般原点向右为正，原点向左为负。3、规定了单位长度1，1的位置到原点的距离为单位长度。数轴的特点：1、任何一个数都能在数轴上找到相应的点，一一对应。2、数轴能比较大小，右边的数比左边的数大。3、正数大于0，负数小于0.正数大于负数4、互为相反数的两个数分别位于原点的两边并且离开原点的距离相等从数轴上可以看出，如果A点落在-1和-3之间，则A点对应的数值计作a,那么下面的不等式成立：-3a-1二、绝对值绝对值的概念：一个数的绝对值表示这个数在数轴上离开原点的距离。也可以将绝对值看成一种算法用｜｜表示。计作｜a｜。ab在数轴上表示两个点之间的距离。既然可以把绝对值看成一种算法，那就有绝对值的运算规律，规律如下：｜a｜=a(a0时)-3-2-1210-3-2-1210A-3-2-1210A距离｜a｜=-a(a0时)0的绝对值是0，任何数的绝对值都大于等于0。即｜a｜≥0abababba变化一下，我们来看看2x表示的意义:两种思考方法：1、分段分析法（代数法）220,22(2)0220,2(2)20xxxxxxxxxx当时，当时，2、几何分析法根据绝对值的概念：2=--2xx（）表示在数轴上-2x到的距离同样的道理：33xx表示的点到的距离例题：1、解：2、如果22(5)20,xyxy求解：xx-3-2-1210距离距离320,3020,3203=02=03,21ababababababab如果求，要使，那么，222222(5)020(5)20(5)=02=050,205,25(2)541=1xyxyxyxyxyxyxy因为，要使，则，则。所以：3、31xxx当在什么数值范围时，的有最小值，最小值是多少？解：分段法：131=31224xxxxxx当时，abba331=-(3)(1)224xxxxxx当时，综上分析：314,xx-3131xxx当时，达到最小值，最小值为4几何解法：根据绝对值的概念：3-311xxxx表示到的距离，表示到的距离。如上图所示：只有当x落在-3和1之间距离最短，因此-3131--=xxx当时，达到最小值，最小值为1（3）44、如果-3+25111,xxyyxy求的最大值与最小值解：根据绝对值概念，距离x-3-2-1210xx-3+25516-3+25111-3+2=551=6-3+25111-3,51-44-7xxyyxxyyxxyyxxyyxyxyxy所以所以只有当，时，等式成立。所以2两式相加则有7所以的最大值为，最小值为科学计数法科学计数法是一种计数方法，把一个数表示为a(110a,n为整数)与10的幂相乘的形式。计作：10na1435282.810,100031.031010001.010,0.0000151.5101、abbcac2