全维状态观测器

全维状态观测器xp809584068Page22状态重构和状态观测器状态重构即状态观测器的提出，主要是为了解决状态反馈在性能上的不可替代性和在物理上的不能实现性的矛盾。（1）不可替代性：先前各节中极点配置，镇定，动态解耦控制，静态解耦控制，渐进跟踪和扰动控制，以及线性二次型最优控制等都有赖于状态反馈才能实现。（2）物理上的不能实现性：状态作为系统内部变量组，或由于不可能全部直接测量，或由于测量手段在经济性和适用性上限制，使状态反馈的物理实现成为不可能或很困难的事。解决状态反馈物理构成的途径：采用理论分析和对应算法的手段，导出在一定意义下等价于原状态的一个重构状态，并用重构状态代替真实状态组成状态反馈。Page33状态重构实质状态重构直观说明状态重构的实质是，对给定确定性线性时不变被观测系统，构造与具有相同属性的一个系统，利用中可直接量测的输出y和输入u作为的输入，并使状态或其变换在一定指标提法下等价于状态x。等价指标的提法通常取为渐近等价，即并且，称状态为被观测系统状态x的重构状态，所构造系统为被观测系统的一个状态观测器。BCA状态观测器uxyx++ˆxˆˆˆ)t(xlim(t)xˆlimttˆxˆˆPage44观测器的分类对线性时不变被观测系统，观测器也是一个线性时不变系统，观测器可按两种方式进行分类。功能角度：状态观测器和函数观测器。状态观测器特点：以重构被观测系统状态为目标，当即系统达到稳定时可使重构状态完全等同于被观测状态x。函数观测器特点：以重构被观测系统状态的函数如反馈线性函数kx为目标，将等价指标取为重构输出w和被观测状态函数kx的渐近等价，即k为常数阵结构角度：全维观测器和降维观测器维数等于被观测系统的状态观测器称为全维观测器，维数小于被观测系统的状态观测器为降维观测器。txˆ)()(limlimttkxtwtPage55全维状态观测器：综合方案一考虑n维连续时间线性时不变被观测系统：其中，状态x不能直接量测，输出y和输入u是可以利用的。(1)全维状态观测器的构造思路方案I全维状态观测器在构造思路上由“复制”和“反馈”合成。复制就是，基于被观测系统的系数矩阵A,B,C，按相同结构建立一个复制系统。反馈是指，取被观测系统输出y和复制系统输出的差值作为修正变量，经增益矩阵L反馈到复制系统中积分器组输入端以构成闭环系统。xy0txx(0)uxx0CBA，，nqpnnnRCRBRA，，yˆBCAuyx++BACL-+yˆxˆ+++路图全维状态观测器构造思方案图I22.6Page66引入反馈项的必要性只有“复制”组成的开环状态观测器存在的问题：1.对系统矩阵A包含不稳定特征值情形，只要初始状态和存在很小的偏差，系统状态x(t)和重构状态的偏差就会随t增加而扩散或震荡，不可能满足渐近等价目标。2.对系统矩阵A为稳定情形，尽管系统状态x(t)和重构状态最终趋于渐近等价，但收敛速度不能由设计者按期望要求来综合，从控制工程角度这是不允许的。3.对系统矩阵A出现摄动情形，开环型状态观测器由于系数矩阵不能相应调整，从而使系统状态x(t)和重构状态的偏差情况变坏。引入反馈项就能克服或减少上述这些问题的影响。结论6.52[全维观测器状态空间描述]对按图6.22思路组成的全维状态观测器，状态空间描述为(6.370)相应结构图如图6.23所示，虚线框内为被观测系统，虚线框外为全维状态观测器。)xˆ-y(CL0x0xˆ)t(xˆ)t(xˆ)t(xˆBuLyxˆ)(xˆLCA0xˆ)0(xˆPage77证：对按图6.22思路所给出的全维状态观测器，可以导出：化简后可导出式（6.370）。结论6.53[观测偏差状态方程]对图6.23所示结构的全维状态观测器，表x为被观测系统状态，为观测器状态，则观测偏差的状态方程为(6.373)证：由，并利用被观测系统状态方程和全维观测器状态方程，即可得到BCAuyx++BA-LCLxˆ+++图6.23方案I全维状态观测器的结构图xˆyˆxˆ)0(xˆu)yˆ-y(xˆxˆ0CBLA，xˆxˆ-xx~000xˆ-xx~(0)x~x~)LC-(x~，Axˆ-xx~Page88对初始条件，可由直接导出。结论6.54[观测偏差表达式]对图6.23所示结构的全维状态观测器，的表达式为(6.375)证：利用线性时不变系统零输入响应关系式，由式(6.373)即可导出式(6.375).结论6.55[全维观测器渐近等价条件]对图6.23所示结构n维全维状态观测器，存在nxq反馈矩阵L使成立充分必要条件是被观测系统不能观测部分为渐近稳定，充分条件为被观测系统(A,C)完全能观测。证：基于对偶原理，(A,C)能观测性等价于能控性。由此，并利用线性时不变系统镇定问题对应结论，即可证得，等价地这又意味着。结论6.56[全维观测器极点配置]对图6.23所示结构n维全维状态观测器，存在nxq反馈矩阵L可任意配置观测器全部特征值，即对任给n个期望特征值可找到nxq矩阵L使成立：充分必要条件为被观测系统(A,C)完全能观测。x~)()xˆ-x)((Bu]LCxxˆLC)-[(A-Bu)(Axxˆ-xx~LCALCAxˆ-xx~xˆ-xx~0tx~e)t(x~0t)(，LCA)t(xlim)t(xˆlimtt),(TTCA0)t(x~limt)t(xlim)t(xˆlimttn21，，，n,2,1i)(ii，，LCAPage99证：基于对偶原理，(A,C)能观测性等价于能控性。由此，并利用线性时不变系统的极点配置定理，即可证得结论。算法6.9[全维观测器综合算法]给定完全能观测连续时间线性时不变被观测系统：其中，。进而，对综合方案I全维观测器，指定一组期望特征值step1：计算对偶系统系数矩阵.step2：对和期望特征值组，采用极点配置算法，计算使的qxn状态反馈状态矩阵。其中表示所示矩阵的特征值。step3：取.step4：计算(A-LC)。step5：所综合全维观测器为),(TTCAxy0txx(0)uxx0CBA，，nqpnnnRCRBRA，，n21，，，TTCBAA,),(BAn21，，，n....3,2,1i)(ii，KBAK)(TKLBuLyxˆ)(xˆLCAPage1010全维状态观测器：综合方案II考虑n维连续时间线性时不变被观测系统：其中，，(A,B)完全能控，状态x不能直接测量，输出y和输入u是可以利用的。(1)全维状态观测器的结构给定n维连续时间线性时不变被观测系统(6.378)，方案II全维状态观测器也是一个n维连续时间线性时不变系统。状态观测器的输入取为被观测系统的输出y和输入u，状态空间描述为其中待定系数矩阵，为被观测状态x的重构状态。方案II全维状态观测器的结构图如图6.24所示。xy0txx(0)uxx0CBA，，nqpnnnRCRBRA，，zxˆzz(0)uyzz10THGF，nnpn,,RTRHRGRFpnnn，xˆHFGxˆ+++图6.24方案II全维状态观测器的结构图yuZ1T)378.6()379.6(Page1111(2)全维状态观测器的条件结论6.57[全维状态观测器条件]给定n维连续时间线性时不变被观测系统(6.378)，n维线性时不变系统(6.379)对任意可成为全维状态观测器的充分必要条件是：(i)TA-FT=GC,T非奇异；(ii)H=TB；(iii)矩阵F的全部特征值均具有负实部。证：表e=z-Tx，并利用式(6.379)和式(6.378),可以导出：先证充分性。已知条件(i)~(iii),欲证式(6.379)为全维状态观测器。对此，将条件(i)~(ii)代入式(6.380)，可以得到：由条件(iii)知，对任意非零，有或等价地有注意到T非奇异，由上式可导出：uxz00，，n,....2,1i)(i，FTB)u-(HGC)TA-(FTFeTBx-TAx-HuGCxFTxFTx-Fzu-x-uyzx-zeTBTAHGFTeeFuxz00，，0)x)((explim)(elim00ttTzFtt)t(xlim)(zlimttTt)(xlim)t(xlim)t(zlim)(xˆlimt1-t1-tttTTTt)380.6(Page1212从而x和为渐近等价，即系统(6.379)为全维状态观测器。必要性：已知系统(6.379)为全维状态观测器，欲证条件(i)~(iii).若条件(iii)不成立，则系统(6.379)不为渐近稳定，这意味着对任意和u(t)=0，当有若条件(ii)不成立即H≠TB，则可找到一个u(t)使当有。若条件(i)不成立即TA-FT≠GC，但由(A,B)完全能控，则可找到一个u(t)产生一个x(t)，使当有。注1：上述结论中，条件(i)是最为关键的条件，涉及到求解西尔维斯特方程TA-FT=GC问题。并且，只有满足一定条件，才能保证非奇异nxn解阵T存在。注2：要求解阵T非奇异是基于导出重构状态的需要。这是因为，只有存在，才能由全维状态观测器(6.379)唯一导出被观测状态x的重构状态。结论6.58[解阵T非奇异条件]对多输出n维连续时间线性时不变被观测系统(6.378)和方案II全维状态观测器(6.379)，设矩阵F的全部特征值均具有负实部，且矩阵A和F不具有公共特征值，则西尔维斯特方程TA-FT=GC存在非奇异nxn解阵T的必要条件是{A,C}完全能观测和{F,G}完全能控。xˆ0x0t0)(ettt0)(ettt0)(ettxˆ1Tzxˆ1T)385.6(Page1313结论6.59[解阵T非奇异条件]对单输出n维连续时间线性时不变被观测系统(6.378)和方案II全维状态观测器(6.379)，设矩阵F的全部特征值均具有负实部，且矩阵A和F不具有公共特征值，则{A,C}完全能观测和{F,G}完全能控是西尔维斯特方程(6.385)解阵T为非奇异的充分必要条件。算法6.10[全维观测器综合算法]给定完全能观测连续时间线性时不变被观测系统：其中，。再对所有综合全维状态观测器，指定一组期望特征值且满足限制。那么。方案II全维观测器可按如下步骤综合。step1:：计算期望特征值组对应特征多项式：step2：组成nxn矩阵：step3：任取nxn非奇异矩阵S，计算,计算。step4：任取{F,G}完全能控的nxq矩阵G。step5：求解西尔维斯特方程TA-FT=GC解阵T。step6：若q=1，去到step8；若q1，进入下一步。xy0txx(0)uxx0CBA，，nqpnnnRCRBRA，，n21，，，n2,1ji)(ji，，，，An21，，，01n1i11)(ssssnni1-n1001010F1S10SSFFPage1414step7：判断解阵T非奇异性。若为非奇异，进入下一步；若为奇异，去到step3。step8：计算H=TB.step9：定出全维状态观测器状态方程和重构状态：step10：停止计算。zxˆuyzz1THGF