一元高次方程数值解法C程序实现探讨

周口师范学院08级信息与计算科学专业郑小博一元高次方程数值解法C程序实现探讨摘要一元高次方程作为方程的一部分，对我们后续的学习起着相当重要的作用。求解一元高次方程的根在计算数学方面既是难点也是重点。关于一元高次方程，我们在中学阶段，已经掌握了一元二次方程的公式解法；一元三次方程和一元四次方称有一般解法，但是比较复杂，且超过了一般的知识范围；5次以及5次以上的代数方程，没有一般的公式解法。本文我们在了解了系数在有理数域且只有有理根的一元高次方程的解法技巧的基础上，通过回忆我们学过的一元二次方程根式解的方法，推敲了一元三次、四次方程的根式解；最后介绍了两种解高次方程数值解通用的两种方法：二分法、牛顿法。要求我们在了解一元二次方程的同时掌握一元三次及四次方程的根式解意义，理解用二分法及牛顿法解一元高次方程数值解法的思想及意义关键词:高次方程，二分法，二分法，迭代PolynomialequationsCprogramdiscussAbstractPolynomialequationsaspartoftheequation,foroursubsequentlearningplaysaveryimportantrole.Solvingapolynomialequationrootincomputationalmathematicsisadifficultandkeypoint.Onpolynomialequations,weinthestageofmiddleschool,havemasteredthetwooncebasicquadraticequationformulasolution;threeoncebasicquadraticequationandafourpowersaidthatgeneralsolutions,butare周口师范学院08级信息与计算科学专业郑小博morecomplex,andmorethanthegeneralscopeofknowledge;the5andmorethan5algebraicequation,nogeneralformulasolution,Inthispaperweunderstandthecoefficientsinthefieldofrationalnumbersandonlytherationalrootofpolynomialequationsbasedontechniques,Throughthememorieswelearnedtwooncebasicquadraticequationrootsolutionmethod,thestudyofonedollarthreetimes,fourtimesradicalsolution;finallyintroducedtwokindsofsolutionofequationofhigherdegreenumericalsolutionofgeneralbytwomethods:thedichotomy,theNewton-Raphsonmethod.Weknowtwooncebasicquadraticequationwhilemasterofonedollarthreetimesandfourtimestheradicalsolutionofequationofmeaning,understandtheuseofdichotomyandNewtonsmethodforsolvingpolynomialequationsnumericalsolutionofthethoughtandmeaningKeywords:Equationofhigherdegree,Dichotomy,Newtonmethod,Iterative目录摘要1绪论2选题分析2.1选题的研究现状2.2选题的意义2.3论文的主要内容3解方程周口师范学院08级信息与计算科学专业郑小博3.1一元三次方程的根式解法3.3二分法解一元高次方程3.4牛顿法解一元高次方程参考文献致谢1.绪论整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。高次方程解法思想是通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解。对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解。人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹公式”。历史事实并不是这样，数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔塔里亚”，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世，因为那个年代意大利盛行打数学擂台赛，冯塔纳把他解三次方程的秘诀作为法宝，是他获得比赛的胜利的宝剑。当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹，对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬周口师范学院08级信息与计算科学专业郑小博泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。卡尔丹把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹公式”，有的资料也称为“卡丹公式”。卡尔丹剽窃他人的学术成果，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的。但是，冯塔纳坚持不公开他的研究成果，也不能算是正确的做法，起码对于人类科学发展而言，是一种不负责任的态度。卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力，发展成了复数的理论。从这个意义上，卡尔丹公式对数学的发展作出了巨大贡献，史称卡尔丹公式是伟大的公式。解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但是使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd和总判别式Δ=B2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式③被称为超级简便的公式。盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。周口师范学院08级信息与计算科学专业郑小博2选题分析2.1选题的研究现状整式方程中，如果未知数的最高次数高于2次，那么这种方程成为高次方程。一元三次方程和一元四次方称有一般解法，但是比较复杂，且超过了一般的知识范围。5次以及5次以上的代数方程，没有一般的公式解法，这已经有挪威青年数学家阿贝尔于1824年做出了证明。2.2选题的意义一元高次方程作为方程的一部分，对我们后续的学习起着相当重要的作用。求解一元高次方程的根在计算数学方面既是难点也是重点。2.3论文的主要内容一元高次方程作为方程的一部分，对我们后续的学习起着相当重要的作用。求解一元高次方程的根在计算数学方面既是难点也是重点，该论文我们通过回忆一元二次方程的根式解法来推敲一元三次、一元四次方程的根式解法，并在推敲后验证了得出来的根式解。继而我们探讨了二分法及牛顿法（切线法）解一元高次方程的思路，熟练掌握这两种方法的解题思想。首先了解了系数在有理数域且只有有理根的一元高次方程的解法技巧；其次在一元二次方程根式解的基础上推敲了一元三次、四次方程的根式解；最后介绍了两种解高次方程数值解通用的两种方法：二分法、牛顿法。要求我们在了解一元二次方程的同时掌握一元三次及四次方程的根式解意义，理解用二分法及牛顿法解一元高次方程数值解法的思想及意3解方程3.1一元三次方程的根式解法首先，我们对一元二次方程进行新的解答，从新的解答中，我们受到启发，在对一元三次方程及一元四次方称求解。一、一元二次方程的解对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)变形得x2+bax+ac=0.令y=x+2ab；y-2ab=x代入上式，得周口师范学院08级信息与计算科学专业郑小博2()2bya-+ba(y-2ab)+ac=0整理得:2y-224ba+ac=0（无一次项）.故有y=242baca?.于是得x=242bbaca-?(240bac-?).二、一元三次方程的解对于一元三次方程32+c0axbxxd++=（0a¹），变形得32+0abcdxxxaa++=令y=x+3ba，x=y-3ba代入上式32()+y)+03a3a3bbbcbdyyaaaa--=（-（）+.整理得3y+py+q=0(1)其中p=2233acba-，q=323292727babcaba-+.若令y=u+v；3y=322333uuvuvv+++333u)=0yuvvv-+-+3（（u）(2)将（1）式和）（2）式对照可得：333uvqpuv+=-=-ìïïíïïî33327puv=-根据韦达定理可求出3u及3v即可以求得u和v也就求得此方程的解x.例：解方程322612110xxx-+-=解：令x=y-63a=y+1代入原方程周口师范学院08级信息与计算科学专业郑小博化简得:33302yy+-=p=3,q=32又令y=u+v；3333321uvuvìïï+=ïíïï=-ïî令1t=3u，2t=3v;构成了一元二次方程23102tt--=的两个根。解得：1t=2=3u，2t=-12=3v1u=322u=32U3u=322U1v=312-2v=312-U3v=312-2U其中U=-12+32i又uv=-3p=-1（实数）将1u，2u，3u，1v，2v，3v，进行配对得:331111123322122233333331;12121;12121