三角函数的图像与性质

第三章三角函数与解三角形第五节三角函数的图像与性质考纲要求1.能画出y＝sinx，y=cosx,y=tanx的图像。2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如值域、单调性、奇偶性、最大值和最小值以及与x轴交点等，）理解正切函数在区间(－π2,π2)上的性质，了解三角函数的周期性。一、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质（表格中各式的k∈Z）课前自修基础回顾考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接二、研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的方法课前自修类比于研究y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sinx中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接三、求三角函数的周期的常用方法课前自修经过恒等变形化成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式．如：函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期都是2π|ω|；函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是π|ω|.另外还有图象法和定义法．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修基础自测1．(2013·广州一测)如果函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为()A．3B．6C．12D．24C解析：T＝π6，ω＝2πT＝12，故选C.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修2．(2014·广州测试)若函数y＝coswx＋π6(w∈N*)的一个对称中心是π6，0，则w的最小值是()A．1B．2C．4D．8B考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修3.(2014·江苏卷)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6解析：由题意可得两个函数图象有一人交点坐标是(π3，12)，所以sin(2π3＋φ)＝12，0≤φ＜π，解得φ＝π6.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修4．已知函数f(x)＝sinωx－π6(ω0)在0，4π3上单调递增，在4π3，2π上单调递减，则ω＝________．12解析：由题意f4π3＝sin4πω3－π6＝14πω3－π6＝2kπ＋π2ω＝32k＋12，k∈Z.又ω0，令k＝0，得ω＝12(如k0，则ω≥2，T≤π与已知矛盾)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点1求与三角函数有关的函数的定义域考点探究【例1】(1)求下列函数的定义域：①y＝2＋log12x＋tanx；②y＝sin（cosx）；③y＝lgsin(cosx)．(2)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cosx)的定义域．思路点拨：对于(1)，转化为解不等式(组)问题来解决；对于(2)，要使0≤cosx1.自主解答：点评：函数的定义域就是使函数解析式各部分有意义的自变量的取值范围，因此转化为求不等式(组)的解集问题来解决．要解三角不等式，常用的方法有：(1)利用图象；(2)利用三角函数线．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)①2＋log12x≥0，tanx≥0，x00x≤4，kπ≤xkπ＋π2，k∈Z，0xπ2或π≤x≤4，所以函数的定义域是0，π2∪[π，4]．②sin(cosx)≥00≤cosx≤12kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z，所以函数的定义域是x2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z.③由sin(cosx)＞02kπ＜cosx＜2kπ＋π(k∈Z)，又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1，∴所求定义域为2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)0≤cosx＜12kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，且x≠2kπ(k∈Z)，∴所求函数的定义域为2kπ－π2，2kπ∪(2kπ，2kπ＋π2]，k∈Z.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究1．(1)(2013·江苏泰州调研)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．(2)函数y＝tanx(－1＜y＜1)的定义域是________．2kπ，π3＋2kπ(k∈Z)－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.(2)当x∈－π2，π2时，y＝tanx(－1＜y＜1)的解是－π4，π4，利用正切函数的周期性得函数的定义域为(－π4＋kπ，π4＋kπ)(k∈Z)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点2求三角函数的单调区间考点探究【例2】求下列函数的单调区间：(1)y＝12sinπ4－2x3；(2)y＝－sinx＋π4.思路点拨：对于(1)，要将原函数化为y＝－12sin(23x－π4)，再求之；对于(2)，可画出y＝－sinx＋π4的图象，进而求之．自主解答：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：(1)熟练掌握正、余弦函数y＝sinx，y＝cosx的单调区间是迅速正确求解正、余弦型函数单调区间的关键．特别提醒，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.(2)在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω0，则通过诱导公式先将ω化为正数再求．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)∵y＝12sinπ4－2x3＝－12sin2x3－π4，且函数y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴由2kπ－π2≤2x3－π4≤2kπ＋π23kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8(k∈Z)，由2kπ＋π2≤2x3－π4≤2kπ＋3π23kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8(k∈Z)，即函数的单调递减区间为[3kπ－3π8，3kπ＋9π8](k∈Z)，单调递增区间为[3kπ＋9π8，3kπ＋21π8]（k∈Z）.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)作出函数y＝－sinx＋π4的简图(如图所示)，由图象得函数的单调递增区间为kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z)，单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究2．(1)(2013·江门二模)函数f(x)＝sinπx＋π2，x∈[－1，1]，则()A．f(x)为偶函数，且在[0，1]上单调递减B．f(x)为偶函数，且在[0，1]上单调递增C．f(x)为奇函数，且在[－1，0]上单调递增D．f(x)为奇函数，且在[－1，0]上单调递减A考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)已知函数y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，则()A．0＜ω≤1B．－1≤ω≤0C．ω≥1D．ω≤－1B解析：(1)∵函数f(x)＝sinπx＋π2＝cosπx，故函数为偶函数，故排除C、D.当x∈[0，1]时，πx∈[0，π]，函数y＝cosπx是减函数，故选A.(2)∵y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，必有ω＜0，当|ω|＞1时，图象的周期小于π，则不能保证在－π2，π2内是减函数，故－1≤ω≤0.故选B.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点3求三角函数的最小正周期、最值(值域)考点探究【例3】(2013·惠州一模)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1x∈R，其中A0，ω0，0φπ2的周期为π，且图象上一个最低点为M23π，－1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈0，π12时，求f(x)的值域．思路点拨：(1)通过函数的周期求出ω，利用函数图象上一个最低点求出A，列出关系式求出φ，推出函数的解析式．(2)利用函数的解析式，通过x的范围，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的值域即可．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)因为函数的周期为π，所以有T＝2πω＝π，所以ω＝2，因为函数图象上一个最低点为M23π，－1，所以－A＋1＝－1，所以A＝2，并且－1＝2sin2×2π3＋φ＋1，可得sin2×2π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，φ＝2kπ－11π6，k∈Z，因为0φπ2，所以k＝1，解得φ＝π6.函数的解析式为：f(x)＝2sin2x＋π6＋1.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)因为x∈0，π12，所以2x∈0，π6，2x＋π6∈π6，π3，sin2x＋π6∈12，32，∴2sin2x＋π6∈[1，3]，2sin2x＋π6＋1∈[2，1＋3]，所以f(x)的值域为[2，1＋3]．点评：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期和最值的求解，注意最小正周期公式T＝2π|ω|的使用，容易忽略分母的绝对值；求最值时，要结合角的范围，利用三角函数的单调性求解．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究3．(1)当函数y＝sinx－3cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________．(2)已知函数f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．5π6－32，3考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)函数为y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，当0≤x＜2π时，－π3≤x－π3＜5π3，由三角函数图象可知，当x－π3＝π2，即x＝5π6时，函数取得最大值，所以x＝5π6.(2)由已知，两函数周期相同，所以ω＝2.所以f(x)＝3sin2x－π6.由0≤x≤π2得－π6≤2x－π6≤5π6.所以－12≤sin2x－π6≤1，所以－32≤f(x)≤3.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点4三角函数的零点、奇偶性、对称性的应用考点探究【例4】(1)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω0，||φπ2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π2上单调递减B．f(x)在π4，3π4上单调递减C．f(x)在0，π2上单调递增D．f(x)在π4，3π4上单调递增(2)已知函数f()x＝sinωx＋π6(ω0)，若函数f()x图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，则ω的值为________．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sinωx