柯西不等式----毕业论文

1柯西不等式的证明及应用徐海军（延安大学计算机学院）摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等，本文用了不同的证明方法证明了柯西不等式，并说明它在其他学科中的运用.关键字：柯西不等式数学归纳法证明Summary:Cauchy`sinequalityisaveryimportantinequality,thisarticleusedifferentmethodstoprovetheCauchyinequality,theapplicationandillustrateCauchyinequalityinotherdisciplines.Keywords:CauchyinequalityMathematicalinductionprove21.绪论柯西不等式是一个非常重要的不等式，他的结构对称优美，具有较强的应用性，深受人们的喜爱.灵活巧妙的运用它，可使一些简单的问题迎刃而解，达到出奇制胜，事半功倍的效果.因此许多数学教师和资深数学教育家都在研究柯西不等式的证明及应用问题.本文先给出柯西不等式，然后介绍几种常用的证明方法，如构造二次函数法、数学归纳法、向量积法。最后探讨了柯西不等式在不同领域中的应用.2.柯西不等式定理1对任意两组实数,,,;,,,1212aaabbbnn，有222.111iinnnababiiiiiai与1,2,,bini，即==ininaabb时等号成立注:==ininaabb的意义是:1b,,nb不全为零时,若0ib时，则对应的0ia；若120nbbb时12,,,naaa可取任意实数。推论1设1,2,,iain都是正实数，那么就有：2111nniiiiana.推论2设nibRaii,,2,10,，则iiniiibaba212，等号成立当且仅当niabii,,2,1.33.柯西不等式在其他学科中的应用3.1柯西不等式在数学分析中的形式（积分形式）定理2设(),()[,]fxgxab，我们有222[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx当且仅当存在12,kk不全为零,且使得12()()0kfxkfx时等号成立.证明因为2()[()()]bauttfxgxdx222()2()()()bbbaaatfxdxtfxgxdxgxdx0所以判别式0，即222(2()())4()()0bbbaaafxgxdxfxdxgxdx所以222[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx3.2柯西不等式在高等代数中的应用定理2对于任意的向量，有(,)当且仅当存在不完全为零的常数12,kk，使得120kk时，等号成立.证明当0时，(,)显然成立，以下假设0.令t是一个实变数，做向量t由,cos,b可知，不论t取何值，一定有(,)(,)0tt即22(,)2(,)(,)0tt则判别式0，也就是22(,)4(,)(,)04从而有22(,)即(,)当,线性相关时，等号成立，反过来如果等号成立，从以上证明可看出0或者,0,，也就是说,线性相关.3.3柯西不等式在复变函数中的应用定理4（三角不等式）121212zzzzzz（12,zzC）其中1212zzzz(表示三角形两边之和大于第三边)(3.1)1212zzzz(表示三角形两边之差小于第三边)(3.2)(3.1)及(3.2)中等号成立的几何意义是：复数12,zz所表示的向量共线且同向.即120,0zz时，12(0)zkzk证明（三角不等式）在复平面中取向量12,ozoz所对应的复数为12zz据向量的加法法则我们有12,ozozoz2112zzozoz设12zoz有余弦定理222121212cos2zzzzzz又cos1,所以1212zzzz（3.3）当且仅当0或=时，即12,,ozz三点共线时，等号成立.在12zoz中，12ozz,同理可有51212zzzz（3.4）综上由（3.3），（3.4）得121212zzzzzz三角不等式的本质反映了空间三点两两之间形成的距离之间的关系.且由数学归纳法可得推广了的三角不等式1212nnzzzzzz.3.4柯西不等式在概率论与数理统计中的应用定理5设p为随机变量，则,,若22,EE存在，则有：222EEE当且仅当在不全为零的常数12,kk使得12kk时，等号成立.证明设事件X的方差用()Varx表示，因为2()(())0VarEXEX所以22()()EVarE2()E0.同理可得22()0EE.因此有222222()()()()EEEEEEE.所以222EEE64.柯西不等式的不同方法的证明4.1方法一构造二次函数2221122()()()()nnfxaxbaxbaxb22222121122()2()nnnaaaxabababx22212()nbbb21()niiiaxb因为为,,iiabR对于任意的,()0xRfx，所以，()fx的判别式222111=4()()0nnniiiiiiiabab（2）从而222111()()()nnniiiiiiiabab.当且仅当()fx有二重根xk时，21()0niiiakb,因此当且仅当(1,2,,)iibkain时等号成立.4.2方法二(数学归纳法)(1)当1n时，显然成立；当2n时22222112211112222()2abababababab2222222211122122abababab222222112212()()abbabb22221212()()aabb当且仅当1221abab时等号成立.(2)假设当nk时成立,即7222.111iikkkababiiiii当且仅当(,1,2,,)ijjiababijk时等号成立，那么当1nk时2222221111()()1111iiikikkkkkabaabbiiii2222222211112222221111121111121111()iikikikkiikkiikkkiiikkkkabbaababiiiikkkkababababiiiiab当且仅当==(,1,2,,)jiijaaijnbb且22112211kiikkkiiaabb时等号成立.4.3方法三(向量法)设向量1212();(),nnaaaabbbb是a与b的夹角.因为cos,abab又cos1,所以cosababab于是22abab,也就是222222211221212nnnnabababaaabbb即222.111iinnnababiiiii1,2,,in,8当且仅当0或时等号成立，也即a与b共线，也就是1212nnbbbaaa时,等号成立.4.4方法四(利用均值不等式法)当02222122221nnbbbaaa时，不等式显然成立.当02222122221nnbbbaaa时，柯西不等式可化为1222212222122211nnnnbbbaaabababa.由由均值不等式可知222212222122211nnnnbbbaaabababa2222212222212222112222211nnnnnnbbbbaaaabbbbaaaa222221222221222221212222121nnnnnnbbbbaaaabbbbaaaa1即1222212222122211nnnnbbbaaabababa当且仅当nibbababainn,,2,1,022119时等号成立.4.5柯西不等式推论的证明比照柯西不等式构造两组实数12,,,;naaa12111,,,;naaa由柯西不等式可得22211111nnniiiiiiiaaaa即2111nniiiinaa所以推论的证.5.不等式的应用5.1利用柯西不等式证明一些不等式例1如果,,1xyz且1112xyz,试证明不等式111xyzxyz.证明因为1112xyz，由柯西不等式可以得到：111111xyzxyzxyzxyz.而1111113321xyzxyzxyz从而得到111xyzxyz10不等式得证.例2对所有的正实数,证明不等式2221888abcabcbaccab.证明由柯西不等式可以得到222222888888abcaabcbbacccababcbaccab2abc再由柯西不等式可得222888aabcbbacccab333888aaabcbbabcccabc33324abcabcabc所以可得322233388824abcabcabcbaccababcabc为此只需证明3333124abcabcabc333324abcabcabc2222226abbccaabbccaabc由均值不等式可以得到，2221888abcabcbaccab注:由上面的两个例子可知，柯西不等式在不等式中的证明具有广泛的应用，证明方法也非常的灵活.应用时应根据具体问题，分析题中那些项是相当于柯西不等式中的ia项与ib.项，有些问题为了用到柯西不等式甚至构造ia项与ib项，11因此，在解决柯西不等式中，必须认真分析巧妙构思，方能促进问题的尽快解决.5.2柯西不等式在几何中的应用例3设P为锐角三角形ABC内一点，此点到三角形三边,,BCCAAB的距离分别是,,PDPEPF.试求：222BDCEAF的最小值.证明设,,;,,.BCaCAbABcBDxCEyAFz由勾股定理有222222xPDyPEzPF222PBPCCA222222czPFaxPDbyPE所以222222xyzaxbycz即22212axbyczabc（5.1）由柯西不等式有222222axbyczabcxyz（5.2）由（5.1），（5.2）可得22222222212abcxyzabc所有222xyz22214abc.当且仅当,,222abcxyz,即P是三角形ABC的外心时，222BDCEAF达到最小值为22214abc.例4已知一定点00,Pxy，直线:0;lAxByC求定点P到直线l的距离.解设,Qxy是直线l上的动点，点P