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-1-2.2.2向量减法运算及其几何意义学习目标核心素养1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点)2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)1.类比数的运算给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象素养.2.通过加法进行向量的减法的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理能力.1．相反向量(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝0.②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.③零向量的相反向量仍是零向量．2．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)作法：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，如图所示．3．|a|、|a±b|与|b|三者之间的关系||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反A[由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.]-2-2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.AC→－AB→＝BC→B.AD→－BD→＝AB→C.BD→－AC→＝BC→D.BD→－CD→＝BC→C[如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，BD→－AC→＝AD→－AB→－(AB→＋AD→)＝－2AB→≠BC→，故选C.]3．化简OP→－QP→＋PS→＋SP→的结果等于()A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→B[原式＝(OP→＋PQ→)＋(PS→＋SP→)＝OQ→＋0=OQ→.]4．如图，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，用a，b表示向量AC→，BD→，则AC→＝________，BD→＝________.a＋bb－a[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC→＝a＋b，BD→＝b－a.]向量减法的几何意义【例1】(1)如图所示，四边形ABCD中，若AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→＝()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋c-3-D．b－a＋c(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将DC→向AB→，BC→，AD→转化；(2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值．(1)A[DC→＝AC→－AD→＝(AB→＋BC→)－AD→＝a＋c－b.](2)[解]法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，则CB→＝a＋b－c.法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作BC→＝－c，连接OC，则OC→＝a＋b－c.图①图②求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[跟进训练]1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.[解]法一：先作a－b，再作a－b－c即可．如图①所示，以A为起点分别作向量AB→和AC→，使AB→＝a，AC→＝b.连接CB，得向量CB→＝a－b，再以C为起点作向量CD→，使CD→＝c，连接DB，得向量DB→.则向量DB→即为所求作的向量a－b－c.-4-图①图②法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.(1)作AB→＝－b和BC→＝－c；(2)作OA→＝a，则OC→＝a－b－c.向量减法的运算及简单应用【例2】(1)如图所示，①用a，b表示DB→；②用b，c表示EC→.(2)化简下列各向量的表达式：①AB→＋BC→－AD→；②(AB→－CD→)－(AC→－BD→)；③(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)．思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．[解](1)∵BC→＝a，CD→＝b，DE→＝c.①DB→＝CB→－CD→＝－BC→－CD→＝－a－b.②EC→＝－CE→＝－(CD→＋DE→)＝－b－c.(2)①AB→＋BC→－AD→＝AC→－AD→＝DC→.②(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝(AB→＋BD→)－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0.③(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)＝(AC→＋BA→)－(OC→－OB→)＝BC→－BC→＝0.-5-[一题多解](2)②法一：(加法法则)原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→＋BD→)－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0；法二：减法法则(利用相反向量)原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0；法三：减法法则(创造同一起点)原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(OB→－OA→)－(OD→－OC→)－(OC→－OA→)＋(OD→－OB→)＝OB→－OA→－OD→＋OC→－OC→＋OA→＋OD→－OB→＝0.1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和．(2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．3．与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．[跟进训练]2．化简下列向量表达式：(1)OM→－ON→＋MP→－NA→；-6-(2)(AD→－BM→)＋(BC→－MC→)．[解](1)OM→－ON→＋MP→－NA→＝NM→＋MP→－NA→＝NP→－NA→＝AP→.(2)(AD→－BM→)＋(BC→－MC→)＝AD→＋MB→＋BC→＋CM→＝AD→＋(MB→＋BC→＋CM→)＝AD→＋0＝AD→.向量减法几何意义的应用[探究问题]1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a－b放在这个图形中？提示：如图所示平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，则a＋b＝AC→，a－b＝DB→.2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？提示：它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a，b不共线时，作OA→＝a，AB→＝b，则a＋b＝OB→，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b|||a＋b||a|＋|b|.同理可证||a|－|b|||a－b||a|＋|b|.(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a||b|，作法同上，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【例3】(1)在四边形ABCD中，AB→＝DC→，若|AD→－AB→|＝|BC→－BA→|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定(2)已知|AB→|＝6，|AD→|＝9，求|AB→－AD→|的取值范围．思路点拨：(1)先由AB→＝DC→判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|AD→－AB→|＝|BC→－BA→|变形，进一步判断此四边形的形状．(2)由||AB→|－|AD→||≤|AB→－AD→|≤|AB→|＋|AD→|求范围．-7-(1)B[∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵|AD→－AB→|＝|BC→－BA→|，∴|BD→|＝|AC→|.∴四边形ABCD为矩形．](2)[解]∵||AB→|－|AD→||≤|AB→－AD→|≤|AB→|＋|AD→|，且|AD→|＝9，|AB→|＝6，∴3≤|AB→－AD→|≤15.当AD→与AB→同向时，|AB→－AD→|＝3；当AD→与AB→反向时，|AB→－AD→|＝15.∴|AB→－AD→|的取值范围为[3,15]．1．将本例(2)的条件改为“|AB→|＝8，|AD→|＝5”，求|BD→|的取值范围．[解]因为BD→＝AD→－AB→，|AB→|＝8，|AD→|＝5，||AD→|－|AB→||≤|AD→－AB→|≤|AD→|＋|AB→|，所以3≤|BD→|≤13，当AB→与AD→同向时，|BD→|＝3；当AB→与AD→反向时，|BD→|＝13.所以|BD→|的取值范围是[3,13]．2．在本例(2)条件不变的条件下，求|AB→＋AD→|的取值范围．[解]由||AB→|－|AD→||≤|AB→＋AD→|≤|AB→|＋|AD→|，∵|AB→|＝6，|AD→|＝9，∴3≤|AB→＋AD→|≤15.当AB→与AD→同向时，|AB→＋AD→|＝15；当AB→与AD→反向时，|AB→＋AD→|＝3.3．本例(2)中条件“|AD→|＝9”改为“|BD→|＝9”，求|AD→|的取值范围．[解]AD→＝BD→－BA→，又|BA→|＝|AB→|，由||BD→|－|BA→||≤|BD→－BA→|≤|BD→|＋|BA→|，∴3≤|AD→|≤15.-8-1．用向量法解决平面几何问题的步骤(1)将平面几何问题中的量抽象成向量．(2)化归为向量问题，进行向量运算．(3)将向量问题还原为平面几何问题．2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB→＝BA→就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量AB→＝a，AD→＝b，则两条对角线表示的向量为AC→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0.正确的个数是()A．3B．4C．5D．6C[由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误．]2．化简BA→－CA→＋DB→－DC→＝________.0[BA→－CA→＋DB→－DC→＝(BA→＋AC→)＋(DB→－DC→)＝BC→＋CB→＝0.]3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.-9-02[因为a，b为相反向量，∴a＋b＝0，即|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a－b|＝|2a|＝2.]4．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用a，b，c表示向量BD→，BC→，BE→，CD→及CE→.[解]∵四边形ACDE是平行四边形，∴CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，BE→＝AE→－AB→＝c－a，CE→＝AE→－AC→＝c－b，∴BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.