20202021学年高中数学第2章平面向量241平面向量数量积的物理背景及其含义教师用书教案新人教A

-1-2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标核心素养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.(重点)3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．(难点)4.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)1.通过学习平面向量数量积的学习，培养学生的数学抽象素养.2.通过数量积的应用，提升学生的数学运算素养.1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任一向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cosθ；②a在b的方向上的投影为|a|cosθ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a||b|反向a·b＝－|a||b|向量的模a·a＝|a|2或|a|＝a·a求夹角cosθ＝a·b|a||b|不等关系a·b≤|a||b|-2-4.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示](a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()A.12B.32C．1D．－12A[a·b＝1×1×cos60°＝12.]2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.π6B.π4C.π3D.π2C[由条件可知，cosθ＝a·b|a||b|＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.]3．已知单位向量a，b夹角为π3，则|a－b|＝________.1[单位向量a，b夹角为π3，则|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×1×12＋1＝1.]4．己知|a|＝1，(a＋b)⊥a，则a·b＝________.－1[|a|＝1，(a＋b)⊥a，可得：a2＋a·b＝0，∴a·b＝－1.]向量数量积的计算及其几何意义【例1】(1)已知单位向量e1，e2的夹角为π3，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：①(a－b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．-3-(1)32[设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cosθ＝a·e1|e1|＝a·e1＝(2e1－e2)·e1＝2e21－e1·e2＝2－1×1×cosπ3＝32.](2)[解]①(a－b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，所以a·b＝10×3×cos120°＝－15，所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.求平面向量数量积的步骤1求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；2分别求|a|和|b|；3求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：1b在a方向上的投影为|b|cosθθ为a，b的夹角，a在b方向上的投影为|a|cosθ.2b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为[跟进训练]1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．(2)设正三角形ABC的边长为2，AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[解](1)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.-4-与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|.思路点拨：灵活应用a2＝|a|2求向量的模．(1)23[|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝12＝23.](2)[解]因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．求向量的模的常见思路及方1求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.2a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.3一些常见的等式应熟记，如a±b2＝a2±2a·b＋b2，a＋b·a－b＝a2－b2等.[跟进训练]2．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为π3，求|a＋b|，|a－b|.[解]∵|a|＝|b|＝5且夹角θ为π3，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝52＋2×5×5×cosπ3＋52＝75，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝52－2×5×5×cosπ3＋52＝25，∴|a＋b|＝53，|a－b|＝5.-5-与向量垂直、夹角有关的问题[探究问题]1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？提示：a⊥b⇔a·b＝0.2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？提示：|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cosθ＝a·b|a||b|.【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞)[∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.](2)[解]由已知条件得a＋3b·7a－5b＝0，a－4b·7a－2b＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①7a2－30a·b＋8b2＝0，②②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12.-6-∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k的值．[解]由已知得|e1＋ke2|＝e21＋2ke1·e2＋k2e22＝1＋k2，|ke1＋e2|＝k2e21＋2ke1·e2＋e22＝k2＋1，(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则cosπ3＝e1＋ke2ke1＋e2|e1＋ke2||ke1＋e2|＝2k1＋k2，即2k1＋k2＝12，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝4±122＝2±3.1．求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cosθ＝a·b|a||b|求解．(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cosθ＞0时，θ∈0，π2；当cosθ＜0时，θ∈π2，π，当cosθ＝0时，θ＝π2.1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．-7-2．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝a2.3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝cB[A错，当a与b夹角为π2时，a·b＝0；C错，a2＝b2即|a|＝|b|；D错，数量积不能约分；只有B对．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．125[设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ＝12，又|b|＝5，所以|a|cosθ＝125，即a在b方向上的投影为125.]4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|