20202021学年高中数学第2章平面向量242平面向量数量积的坐标表示模夹角教师用书教案新人教A版

-1-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标核心素养1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养学生的数学运算素养.2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升学生逻辑推理和数学运算素养.1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02.向量模的公式设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.3．两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示]设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±1|a|a＝±x|a|，y|a|＝±xx2＋y2，yx2＋y2，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±－yx2＋y2，xx2＋y2，其中正、负号表示不同的方向．1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于()A．3B．－3-2-C.53D．－53A[a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A.]2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________.125[a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝42＋22＝25.]3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______.23[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝23.]4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．6365[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝32＋42＝5，|b|＝52＋122＝13，所以a与b夹角的余弦值为a·b|a||b|＝635×13＝6365.]平面向量数量积的坐标运算【例1】(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.①求a的坐标；②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.思路点拨：(1)(2)①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ.②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1)2[以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0,2)，C(2，2)，E(2，1)．-3-可设F(x,2)，因为AB→·AF→＝(2，0)·(x,2)＝2x＝2，所以x＝1，所以AE→·BF→＝(2，1)·(1－2，2)＝2.](2)[解]①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．数量积运算的途径及注意点1进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.2对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.[跟进训练]1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2C[∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.]2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2,1)，则AD→·AC→＝()A．5B．4C．3D．2A[由AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD→·AC→＝(2,1)·(3，－1)＝5.]-4-向量模的坐标表示【例2】(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A．4B．5C．35D．45(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．思路点拨：综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．(1)D[由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝45.故选D.](2)[解]①∵a＝AB→＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝42＋－32＝5.②与a平行的单位向量是±a|a|＝±15(4，－3)，即坐标为45，－35或－45，35.③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴mn＝34.又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.解得m＝35，n＝45或m＝－35，n＝－45，∴e＝35，45或e＝－35，－45.求向量的模的两种基本策略1字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.2坐标表示下的运算：若a＝x，y，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝-5-[跟进训练]3．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.[解](1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，|a－2b|＝72＋32＝58.(2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c＝a－(a·b)b＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，∴|c|＝1＋62＝37.向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？提示：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.2．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于？提示：由已知得a－b＝(1－x,4)．∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0.∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.【例3】(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A．(－2，＋∞)B.－2，12∪12，＋∞C．(－∞，－2)D．(－2,2)(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．思路点拨：(1)可利用a，b的夹角为锐角⇔a·b0，a≠λb求解．(2)设出点D的坐标，利用BD→与BC→共线，AD→⊥BC→列方程组求解点D的坐标．(1)B[当a与b共线时，2k－1＝0，k＝12，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b0且a，b不同向．由a·b＝2＋k0得k－2，且k≠12，即实数k-6-的取值范围是－2，12∪12，＋∞，选B.](2)[解]设点D的坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)．∵点D在直线BC上，即BD→与BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，②即2x＋y－3＝0.由①②可得x＝1，y＝1，即D点坐标为(1,1)，AD→＝(－1,2)，∴|AD→|＝－12＋22＝5，综上，|AD→|＝5，D(1,1)．1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．[解]当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－12，此时a与b方向相反，夹角为180°，所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＝－2＋k＜0得k＜2.由a与b不反向得k≠－12，所以k的取值范围是－∞，－12∪－12，2.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π4”，求k的值．-7-[解]cosπ4＝a·b|a||b|＝2＋k5·1＋k2，即22＝2＋k5·1＋k2，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－13或3.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x2＋y2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cosθ求θ的值．2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，下列命题错误的是()A．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0B．a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角C．若a·b≠0，则a与b不垂直-8-D．|AB→|表示A，B两点之间的距离B[当a与b共线且反向时，a·b＜0，故B不正确．]2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2B[a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝32＋－12＝10，|b|＝12＋－22＝5，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝510×5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4.]3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.－3[a＋mb＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋mb)，∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3.]4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.[解](1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝25.综上，|a－b|