20202021学年高中数学第3章三角恒等变换31两角和与差的正弦余弦和正切公式312第2课时两角和

-1-第2课时两角和与差的正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点)3.熟练两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.借助两角和与差的正切公式的推导过程，培养学生逻辑推理素养.2.通过利用两角和与差的正切公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.两角和与差的正切公式思考：两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？[提示]不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)，两角差的正切公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)．1．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A.711B．－711C.713D．－713B[tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝4＋31－4×3＝－711.]-2-2．若tanπ4－α＝3，则tanα的值为()A．－2B．－12C.12D．2B[由tanπ4－α＝3，即tanπ4－tanα1＋tanπ4tanα＝3，可得：1－tanα1＋tanα＝3，解得：tanα＝－12.]3．已知tanα＝2，则tanα＋π4＝.－3[tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.]4.tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝.3[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.]两角和与差的正切公式的应用【例1】(1)已知tanα＝12，tan(α－β)＝－25，则tan(β－2α)＝()A．－34B．－112C．－98D.98(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝.-3-思路点拨：(1)构造角2α－β＝α＋(α－β)．(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)B(2)17[(1)由已知可知tan(－α)＝－12，又β－2α＝(－α)－(α－β)，所以tan(β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)]＝tan－α－tanα－β1＋tan－αtanα－β＝－12－－251＋－12·－25＝－112.(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝BDAD＝13，tan∠CAD＝CDAD＝12，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝tan∠CAD－tan∠BAD1＋tan∠CADtan∠BAD＝12－131＋12×13＝17.]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．[跟进训练]1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝.(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝35，tan(α－β)＝－13，则tanβ＝.-4-(1)32(2)3[(1)因为tanα－5π4＝15，所以tanα＝tanα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.(2)因为cosα＝35，α为锐角，所以sinα＝45，tanα＝43，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝43－－131＋43×－13＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】(1)1＋tan15°1－tan15°＝.(2)1－3tan75°3＋tan75°＝.思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)3(2)－1[(1)原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.(2)原式＝33－tan75°1＋33tan75°＝tan30°－tan75°1＋tan30°tan75°＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.]-5-[跟进训练]2．求下列各式的值：(1)cos75°－sin75°cos75°＋sin75°；(2)1－tan27°tan33°tan27°＋tan33°.[解](1)原式＝1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33.(2)原式＝1tan27°＋33°＝1tan60°＝33.两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋tanβ，tanαtanβ与tanα－tanβ之间的关系．2．若tanα，tanβ是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a，b，c表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－ba1－ca＝－ba－c.【例3】(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝.(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．思路点拨：(1)看到tan67°－tan22°与tan67°tan22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．-6-(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．(1)1[∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.](2)[解]∵3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，∴3(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33，∴tan(A＋B)＝－33.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝5π6，∴C＝π6.∵tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，tanC＝33，∴tanB＋33＋tanB＝3，tanB＝33，∴B＝π6，∴A＝2π3，∴△ABC为顶角为2π3的等腰三角形．1．将本例(1)中的角同时增加1°，结果又如何？[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝tan68°－tan23°1＋tan68°tan23°，∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1.2．能否为本例(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解]一般结论：若α－β＝45°(α，β≠kπ＋π2，k∈Z)，则tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.证明：∵tan45°＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ，∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，-7-即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.1．整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β；(3)tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tanα·tanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．1．应用公式T(α±β)时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，公式的适用条件是α，β，α＋β(或α－β)≠kπ＋π2(k∈Z)．(2)公式的变形应用只要用到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tanα＋tanβ，tanαtanβ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．2．活用公式巧变换(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tanπ4来代换，以达到化简求值的目的．如3tanα＋31－tanα＝3tanα＋π4.(2)角的变换：看到两个角的正切值应想到T(α±β)公式看到α＋β，β，α－β应想到凑角，如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝12[(α＋β)－(α－β)]等．(3)名的变换：常常用到同角关系，诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或把正切化为正、余弦求解．1．下列说法不正确的是()-8-A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立B．对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．C．tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)D．△ABC中，若tanAtanB＜0，则三角形为钝角三角形B[A对．当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan0＋π3＝tan0＋tanπ3，但一般情况下不成立．B错．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)．C对．当α≠kπ＋π2(k∈Z)，β≠kπ＋π2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．D对．tanAtanB＜0，则A，B中必有一个为钝角，所以三角形必为钝角三角形．]2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于()A．2B．1C.12D．4C[∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝4，且tanα＋tanβ＝2，∴21－tanαtanβ＝4，解得tanαtanβ＝12.]3．若tanπ3－α＝3，则tanα的值为．6－5313[tanα＝tanπ3－π3－α＝tanπ3－tanπ3－α1＋tanπ3tanπ3－α＝3－31＋3×3＝3－333－1332－1＝12－10326＝6－5313.]4．已知cosα＝55，cosβ＝35，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．[解]因为α，β都是锐角，所以sinα＝1－cos2α＝255，sinβ＝1－cos2β＝45，tanα＝sinαcosα＝2，tanβ＝sinβcosβ＝43，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2.