20202021学年高中数学第3章三角恒等变换阶段综合提升第4课三角恒等变换教师用书教案新人教A版必

-1-第3章三角恒等变换第四课三角恒等变换[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]三角函数式求值【例1】(1)已知sinπ3－α＝－25，则cos2018π3－2α＝()A．－1725B．－78C.1725D.78(2)4cos50°－tan40°等于()A.2B.2＋32C.3D．22－1(3)已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．(1)C(2)C[(1)cos2018π3－2α＝cos2π3－2α＝1－2sin2π3－α＝1－2×－252＝1725.-2-(2)4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin50°＋30°－sin40°cos40°＝3sin50°＋cos50°－sin40°cos40°＝3sin50°cos40°＝3.](3)[解]tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝13＞0.而α∈(0，π)，故α∈0，π2.∵tanβ＝－17，0＜β＜π，∴π2＜β＜π，∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜－π2，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝1，∴2α－β＝－3π4.三角函数的求值有三种类型：1给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题.2给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝α＋β－β，2α＝α＋β＋α－β等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论3给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若-3-所求角的范围是0，π，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为，选择求所求角的正弦值.[跟进训练]1．已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sin2x和cosx－sinx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．[解](1)由sinx＋cosx＝15，平方得1＋sin2x＝125，所以sin2x＝－2425，因为－π2＜x＜0，所以cosx＞sinx，所以cosx－sinx＝1－2sinxcosx＝75.(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－sinxcosx＝2sinxcosx＋sinxcosx－sinxcosx＝sin2x·cosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×17＝－24175.三角函数式化简【例2】化简：(1)1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)；(2)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.思路点拨：(1)使用倍角公式化简．(2)切化弦．[解](1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2-4-＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cosθ2＞0，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.三角函数式的化简要遵循“三看”原则1一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.[跟进训练]2．化简：2sin130°＋sin100°1＋3tan370°1＋cos10°.[解]原式＝2sin50°＋sin80°1＋3tan10°1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos25°-5-＝2sin50°＋212cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin30°＋10°2cos5°＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°]2cos5°＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°2cos5°＝4sin45°·cos5°2cos5°＝2.三角恒等式的证明【例3】求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.[证明]左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x181－cos4x＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x＝4＋21＋cos4x1－cos4x＝23＋cos4x1－cos4x＝右边．原式得证．三角恒等式的证明问题的类型及策略1不附加条件的恒等式证明.,通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.-6-2条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.[跟进训练]3．已知sin(2α＋β)＝5sinβ，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.[证明]由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα，整理得：4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα，两边同除以2cos(α＋β)cosα得：2tan(α＋β)＝3tanα.三角恒等变换的综合应用【例4】已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．思路点拨：(1)利用向量共线的坐标表示求值；(2)利用向量数量积的坐标表示列出三角函数关系式再求最值．[解](1)因为a∥b，所以3sinx＝－3cosx，若(cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0，所以tanx＝－33，因为x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝3cosx－3sinx＝－23sinx－π3.因为x∈[0，π]，所以x－π3∈－π3，2π3，所以－32≤sinx－π3≤1，所以－23≤f(x)≤3，-7-当x－π3＝－π3，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－π3＝π2，即x＝5π6时，f(x)取得最小值－23.利用三角恒等变换研究性质问题的策略,先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.3有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.[跟进训练]4．已知函数f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．[解](1)函数f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，可得函数的单调增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.(2)由f(x)＝2sin2x＋π4，可得当2x＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋π8，k∈Z时，函数f(x)取得最大值为2，此时，x取值的集合为xx＝kπ＋π8，k∈Z.