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1习题课正弦定理、余弦定理的综合应用课后篇巩固探究1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=√sinAsinC,则角B为()A.B.C.D.解析:由正弦定理可得a2+c2-b2=√ac,所以cosB=-√√,所以B=.答案:A2.在△ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:由正弦定理及sin2A+sin2Bsin2C可得a2+b2c2.由cosC=-可知cosC0,又因为0Cπ,所以C为锐角,但不能说明△ABC为锐角三角形.答案:D3.已知在△ABC中,A=30°,AB=√,BC=1,则△ABC的面积等于()A.√B.√C.√或√D.√或√解析:由正弦定理得√,所以sinC=√,所以C=60°或C=120°.所以B=90°或B=30°,所以S△ABC=AB·BC·sinB=√sinB=√或√.故选D.答案:D4.已知在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则AC的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,2]C.(0,2]D.(√√)解析:由题意得{-A,由正弦定理得AC=2cosA.因为A∈(),所以AC∈(√√).答案:D5.2如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC的长为()A.8√B.9√C.14√D.8√解析:在△ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即142=x2+102-2·10x·cos60°,整理得x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去).由正弦定理得,所以BC=·sin30°=8√.答案:A6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4,则△ABC的面积等于()A.4√B.√C.√D.2√解析:由b2+c2=a2+bc,得b2+c2-a2=bc,则cosA=-,因为0Aπ,所以A=60°.又bc=|⃗⃗⃗⃗⃗|·|⃗⃗⃗⃗⃗|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=8,所以S△ABC=bcsinA=×8×√=2√.故选D.答案:D7.导学号33194047如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为()A.7kmB.8kmC.9kmD.6km解析:在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即AC2=25+64-2×5×8cosB=89-80cosB.在△ADC中,由余弦定理,得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,即AC2=25+9-2×5×3cosD=34-30cosD.3因为∠B与∠D互补,所以cosB=-cosD,所以---,解得AC=7(负值舍去),故选A.答案:A8.在△ABC中,角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,若a=√,b=3,c=2,则A=,△ABC的面积为.解析:由余弦定理得cosA=--,因为A∈(0,π),所以A=.所以△ABC的面积为bcsinA=×3×2×√√.答案:√9.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使得C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高度为米.解析:设塔AB的高度为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x米.从而BC=√x米,在△BCD中,CD=10米,∠BCD=90°+15°=105°,∠BDC=45°,则∠CBD=30°.由正弦定理可得,BC===10√(米).所以√x=10√,所以x=10√,故塔AB的高度为10√米.答案:10√10.导学号33194048在△ABC中,若B=60°,AC=√,则AB+2BC的最大值为.解析:A+C=120°C=120°-A,A∈(0°,120°).=2BC=2sinA,4=2AB=2sinC=2sin(120°-A)=√cosA+sinA,所以AB+2BC=√cosA+5sinA=√sin(A+φ)=2√sin(A+φ),其中tanφ=√,故最大值是2√.答案:2√11.已知正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在边AB,BC,CA上,D为AB的中点,DE⊥DF,且DF=√DE,则∠BDE=.解析:如图,设∠BDE=θ.在△BDE中,由正弦定理知-,所以DE=√-,同理,在△ADF中,DF=√.所以-√,整理得tanθ=√,因为0°θ180°,所以θ=60°.答案:60°12.导学号33194049在△ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.解(1)因为2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,所以根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,所以cosA=-=-,又0Aπ,所以A=.(2)由(1)知a2=b2+c2+bc,根据正弦定理得sin2A=sin2B+sin2C+sinB·sinC,5即sin2B+sin2C+sinB·sinC=①,又已知sinB+sinC=1②,联立①②解得sinB=sinC=,又已知B+C=π-A=,所以0B,0C,所以B=C=.故△ABC的形状是等腰三角形.13.导学号33194050(2017天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinA=4bsinB,ac=√(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解(1)由asinA=4bsinB,及,得a=2b.由ac=√(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=--√=-√.(2)由(1),可得sinA=√,代入asinA=4bsinB,得sinB=√.由(1)知,A为钝角,所以cosB=√-√.于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=(-√)√=-√.14.已知甲船正在大海上航行.当它位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.(1)试问乙船航行速度的大小.(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1°).6解(1)设C与B的距离为x海里,所用时间为=2(小时),则x2=AC2+AB2-2AB·ACcos120°=102+202+2×20×10×=700,所以x=10√,v乙=√=5√(海里/小时),所以乙船航行速度为5√海里/小时.(2)设∠ACB=θ,则√√,则sinθ=√≈0.655,得θ≈41所以乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处救援.