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1模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14解析:因为S3=3a1+-d=3×2+d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C.答案:C2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为()A.5√B.5√C.2√D.3√解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30°,根据正弦定理,得,所以b==5√.答案:A3.在△ABC中,若AB=√,AC=5,且cosC=,则BC为()A.4B.5C.4或5D.3解析:设BC=x,由余弦定理得,5=x2+25-2×5·x·,即x2-9x+20=0,解得x=4或x=5.答案:C4.已知数列{an}满足an+1-an=2n(n∈N+),a1=3,则的最小值为()A.0B.2√-1C.D.3解析:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+3=n2-n+3,所以=n-1+,当且仅当n=2时取等号.故选C.答案:C5.若在△ABC中,sinB·sinC=cos2,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由sinB·sinC=cos2可得2sinB·sinC=2cos2=1+cosA,即2sinB·sinC=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,所以sinBsinC+cosBcosC=1,即cos(B-C)=1,又-πB-Cπ.所以B-C=0,即B=C.答案:C6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=()2A.8B.7C.6D.5解析:因为Sk+2-Sk=24,所以ak+1+ak+2=24,所以a1+kd+a1+(k+1)d=24,所以2a1+(2k+1)d=24.又因为a1=1,d=2,所以k=5.答案:D7.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于()A.3B.2C.1D.-2解析:因为y=x2-2x+3的顶点为(1,2),所以b=1,c=2.又因为a,b,c,d成等比数列,所以a=,d=4,所以ad=2.答案:B8.(2017天津高考)设变量x,y满足约束条件{-则目标函数z=x+y的最大值为()A.B.1C.D.3解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.答案:D9.若不等式1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是()A.(1,3)B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,+∞)解析:因为4x2+6x+3=()0,所以原不等式⇔2x2+2mx+m4x2+6x+3⇔2x2+(6-2m)x+(3-m)0,x∈R恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)0,解得1m3.答案:A10.已知x,y都是正数,且x+y=1,则的最小值为()3A.B.2C.D.3解析:由题意知,x+20,y+10,(x+2)+(y+1)=4,则[(x+2)+(y+1)]·()[][√],当且仅当x=,y=时,取最小值.故选C.答案:C11.已知a0,x,y满足约束条件{-若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.B.C.1D.2解析:由题意作出{所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=,所以a=.答案:B12.导学号33194083已知数列{an}中,a1=1,a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+2k(k∈N+),则{an}的前60项的和S60=()A.231-154B.231-124C.232-94D.232-124解析:由题意,得a2=a1-1=0,a4=a3+1,a6=a5-1,…,a60=a59+1,所以S奇=S偶.又a2k-1=a2k-2+2k-1(k≥2代入a2k=a2k-1+(-1)k,得a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k(k≥2所以a2=0,a4=a2+21+(-1)2,a6=a4+22+(-1)3,a8=a6+23+(-1)4,…,a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k,所以a2k=2+22+…+2k-1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)k=2k-2+---=2k---,所以S偶=(2+22+23+…+229+230)-×30=---45=231-47,所以S60=2(231-47)=232-94.故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)={-若使不等式f(x)成立,则x的取值范围为.4解析:当x≥2时,由x-化简得,3x2-8x-30,解得-x3,所以2≤x3.当x2时,x,所以x2.所以x3.答案:{x|x3}14.在△ABC中,若BC=2,A=,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为.解析:由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA≥2AB·AC+AB·AC=3AB·AC,当且仅当AB=AC时,取等号,所以AB·AC≤,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB·AC·cosA≥-,则(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)min=-.答案:-15.已知函数f(x)=ax-2-2(a0,且a≠1的图像恒过定点A(m,n),则不等式组{--所表示的平面区域的面积是.解析:函数f(x)=ax-2-2(a0,且a≠1的图像恒过定点A(2,-1),即{-则原不等式组可表示为{---作出可行域如图中阴影部分所示.由图可以看出四边形DBOC落在以1为宽,4为长的矩形内,则四边形DBOC的面积为4-=2.答案:216.设{an}为公比q1的等比数列,若a2013和a2014是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2015+a2016=.解析:因为a2013和a2014是方程4x2-8x+3=0的两根,而方程的两个根是x1=,x2=,又{an}的公比q1,所以a2013=,a2014=,所以q=3.所以a2015+a2016=a2013q2+a2014q2=(a2013+a2014)q2=()×32=18.答案:18三、解答题(本大题共6小题,共70分)517.(本小题满分10分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得,sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),所以sinA+sinC=2sin(A+C).(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由余弦定理得,cosB=---,当且仅当a=c时,等号成立.所以cosB的最小值为.18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式1+-.(1)当m0时,解这个不等式;(2)若此不等式的解集为{x|x5},试求实数m的值.解(1)原不等式可化为m(x+2)m2+x-5,(m-1)xm2-2m-5,若0m1,不等式的解集为{|---};若m=1,则不等式的解集为R;若m1,则不等式的解集为{|---}.(2)由题意和(1)知,m1,且满足{|---}={x|x5},于是---=5,解得m=7.19.(本小题满分12分)(2016浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;6(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0A-Bπ,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)解由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB.因sinB≠0得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.20.(本小题满分12分)已知在等差数列{an}中,a1,a2,a5成等比数列,且a2,a3+2,a6成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)定义:…为n个正数P1,P2…Pn(n∈N+)的“均倒数”.①若数列{bn}前n项的“均倒数”为(n∈N+),求数列{bn}的通项公式;②求+…+.解(1)设数列{an}的公差为d,由题意有{解得{所以an=2n-1.(2)①由题意有…-,所以b1+b2+…+bn=n·(2n-1),①b1+b2+…+bn-1=(n-1)·[2(n-1)-1],n≥2.②由①-②得bn=4n-3(n≥2又b1=1也符合,所以bn=4n-3(n∈N+).7②因为-=(--),所以+…+=[(-)(-)…(--)]=(-).21.导学号33194084(本小题满分12分)如图,设矩形ABCD(ABAD)的周长为24,把它沿着AC折起来,AB折过去后,交DC于P,设AB=x.(1)如何用x来表示DP?(2)如何用x来表示△ADP的面积?(3)能否根据△ADP的面积表达式的特征来求此面积的最大值?解(1)因为AB=x,所以AD=12-x.又DP=PB',在△ADP中,AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP,由勾股定理得(12-x)2+DP2=(x-DP)2,解得DP=12-.(2)△ADP的面积S=AD·DP=(12-x)·(-)=108-().(3)能.因为x0,12-x0,x12-x,即6x12,所以6x+≥2√=72√,所以S=108-()≤108-72√.当且仅当6x=,即x=6√时,等号成立.所以S有最大值,为108-72√.22.导学号33194085(本小题满分12分)(2017江苏高考)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.8(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)若数列{an}既是“P(2)数列”又是“P(3)数列”证明:{an}是等差数列.证明(1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列{an}是“P(3)数列”.(2)数列{an}既是“P(2)数列”又是“P(3)数列”因此,当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{an}是等差数列.