搜索
11.2数列的函数特性课后篇巩固探究A组1.数列{n2-4n+3}的图像是()A.一条直线B.一条直线上的孤立的点C.一条抛物线D.一条抛物线上的孤立的点解析:an=n2-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上一群孤立的点.答案:D2.已知数列{an}的通项公式是an=,则这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:∵an+1-an==0,∴an+1an,∴数列{an}是递增数列.答案:A3.若数列{an}的通项公式an=--,则在数列{an}的前20项中,最大项和最小项分别是()A.a1,a20B.a20,a1C.a5,a4D.a4,a5解析:由于an=----=1+-,因此当1≤n≤4时,{an}是递减的,且a10a2a3a4;当5≤n≤20时,an0,且{an}也是递减的,即a5a6…a200,因此最大的是a5,最小的是a4.答案:C4.已知{an}的通项公式an=n2+3kn,且{an}是递增数列,则实数k的取值范围是()A.k≥-1B.k-C.k≥-D.k-1解析:因为{an}是递增数列,所以an+1an对n∈N+恒成立.即(n+1)2+3k(n+1)n2+3kn,整理得k-,当n=1时,-取最大值-1,故k-1.答案:D25.给定函数y=f(x)的图像,对任意an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1an(n∈N+),则该函数的图像是()解析:由an+1an可知数列{an}为递增数列,又由an+1=f(an)an可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方.答案:A6.已知数列{an}的通项公式是an=,其中a,b均为正常数,则an+1与an的大小关系是.解析:∵an+1-an==0,∴an+1-an0,故an+1an.答案:an+1an7.已知数列{an}的通项公式为an=2n2-5n+2,则数列{an}的最小值是.解析:∵an=2n2-5n+2=2(-),∴当n=1时,an最小,最小为a1=-1.答案:-18.导学号33194002已知数列{an}满足an+1={()-()若a1=,则a2017=.解析:a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=,…,所以{an}是周期为3的周期数列,于是a2017=a672×3+1=a1=.答案:9.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n+20.(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.解(1)令n2-21n+20=-60,得n=5或n=16.所以数列的第5项,第16项都为-60.由n2-21n+200,得1n20,所以共有18项小于0.3(2)由an=n2-21n+20=(-),可知对称轴方程为n==10.5.又n∈N+,故n=10或n=11时,an有最小值,其最小值为112-21×11+20=-90.10.已知函数f(x)=-(x≥1),构造数列an=f(n)(n∈N+).(1)求证:an-2;(2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?(1)证明由题意可知an=---2.∵n∈N+,∴0,∴an=-2-2.(2)解递减数列.理由如下:由(1)知,an=-2.∵an+1-an==---0,即an+1an,∴数列{an}是递减数列.B组1.若函数f(x)满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+3(n∈N+),则f(n)是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定解析:∵f(n+1)-f(n)=3(n∈N+),∴f(n+1)f(n),∴f(n)是递增数列.答案:A2.设函数f(x)={---数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.()D.(1,2)答案:B3.导学号33194003若数列{an}的通项公式为an=7·()--3·()-,则数列{an}的()A.最大项为a5,最小项为a64B.最大项为a6,最小项为a7C.最大项为a1,最小项为a6D.最大项为a7,最小项为a6解析:令t=()-,n∈N+,则t∈(0,1],且()-[()-]=t2.从而an=7t2-3t=7(-).又函数f(t)=7t2-3t在(]上是减少的,在[]上是增加的,所以a1是最大项,a6是最小项.故选C.答案:C4.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:①该数列有无限多个正数项;②该数列有无限多个负数项;③该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值;④-70是该数列中的一项.其中正确的说法有.(填序号)解析:令-2n2+13n0,得0n,故数列{an}中有6项是正数项,有无限个负数项,所以①错,②正确;当n=3时,数列{an}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以③错;令-2n2+13n=-70,得n=10或n=-(舍去),即-70是该数列的第10项,所以④正确.答案:②④5.若数列{()}中的最大项是第k项,则k=.解析:已知数列最大项为第k项,则有{()()()()即{--由k∈N+可得k=4.答案:46.已知数列{an}满足an=+…+.(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?(2)证明:an≥对一切正整数恒成立.(1)解因为an=+…+,所以an+1=+…+=+…+.所以an+1-an=,又n∈N+,所以.5所以an+1-an0.所以数列{an}是递增数列.(2)证明由(1)知数列{an}是递增数列,所以数列的最小项为a1=,所以an≥a1=,即an≥对一切正整数恒成立.7.导学号33194004已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an0,an0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.解(1)由an=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设an=60,则n2-n-30=60.解得n=10或n=-9(舍去),即60是此数列的第10项.(2)令n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴当n=6时,an=0.令n2-n-300,解得n6或n-5(舍去).∴当n6(n∈N+)时,an0.令n2-n-300,解得-5n6.又n∈N+,∴0n6,∴当0n6(n∈N+)时,an0.(3)由an=n2-n-30=(-)-30(n∈N+),知{an}是递增数列,且a1a2…a5a6=0a7a8a9…,故Sn存在最小值S5=S6,Sn不存在最大值.