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12.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A.B.1C.2D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{an}的通项公式为an=2n-37,则Sn取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由{得{--≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=123…若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足(n∈N+),则的值是()A.B.C.D.解析:因为-----,2所以-.答案:C6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴{解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{an}的公差d0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{an}的首项a1和公差d;(2)求数列{an}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d0,a7=a1+6d=23+6d0,解得-d-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d0,∴{an}是递减数列.又a60,a70,∴当n=6时,Sn取得最大值,3即S6=6×23+×(-4)=78.(3)Sn=23n+-×(-4)0,整理得n(25-2n)0,∴0n,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得{①②①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{}的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-66解析:∵Sn=,∴=-n,∴{}的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.4又a4=1+3×(-),ak=1+(k-1)d,由ak+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+0.若Sn存在最大值,则满足Sn0的n的最大值为.解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又-1,所以a100,a110,且a10+a110.所以S19=19×=19a100,S20=20×=10(a10+a11)0,故满足Sn0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.解数列{an}的公差d=------=3,∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由an0得3n-630,解得n21.∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,当n≤20时,Sn'=-Sn=-[--]=-n2+n;当n20时,Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+-×3-2×(-)n2-n+1260.∴数列{|an|}的前n项和Sn'={--8.导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,5所以{整理得{解得{所以an=1+(n-1)×2=2n-1,Sn=n×1+-×2=n2.(2)由(1)知bn=--,所以b1=,b2=,bm=--.若b1,b2,bm(m≥3m∈N)成等差数列,则2b2=b1+bm,所以--,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t=---=1+-.又因为m≥3m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3m∈N)成等差数列.