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1第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在等比数列{an}中,a5=3,则a2·a8=()A.3B.6C.8D.9解析:a2·a8==32=9.答案:D2.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则-的值等于()A.-B.C.±D.解析:∵=1×4=4,∴b2=2或b2=-2(舍去).又a2-a1=--=1,∴--=-.答案:A3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于()A.4B.2C.-2D.-4解析:由{解得a=-4或a=2.又当a=2时,b=2,c=2,与题意不符,故a=-4.答案:D4.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m=()A.9B.10C.11D.12解析:因为{an}是等比数列,所以a1a5=a2a4=,于是a1a2a3a4a5=.从而am==(q2)5=q10=1×q11-1,故m=11.答案:C5.在正项等比数列{an}中,=81,则等于()A.B.3C.6D.9解析:∵=81,2∴=81,∴()=81.∵数列各项都是正数,∴=9.答案:D6.在等差数列{an}中,公差d≠0且a1,a3,a9成等比数列,则=.解析:由题意知a3是a1和a9的等比中项,∴=a1a9,∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),得a1=d,∴.答案:7.在1和100之间插入n个正数,使这(n+2)个数成等比数列,则插入的这n个正数的积为.解析:设插入的n个正数为a1,a2,…,an.设M=1·a1·a2·…·an·100,则M=100·an·an-1·…·a1·1,∴M2=(1×100)n+2=100n+2,∴M=10=10n+2,∴a1·a2·…·an=10n.答案:10n8.导学号33194020在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,所有公比相等,则a+b+c的值为.ab612c解析:设公比为q,由题意知q=,q2=.第四行最后一个数为.因为每一行成等差数列,所以2×2=1+,即bc=6.因为,所以{所以{所以q=.又=q3=(),所以a=8,a+b+c=.3答案:9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.解由题意,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d(d≠0)∴a-d+a+a+d=6,∴a=2,∴这三个数分别为2-d,2,2+d.若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d).解得d=6或d=0(舍去),此时三个数分别为-4,2,8;若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数分别为8,2,-4.10.已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=(n∈N+).(1)判断{an}是何种数列;(2)若a8+a13=m,求b1·b2·…·b20.解(1)设数列{bn}的公比为q,则q0.∵bn=,∴b1=,∴bn=·qn-1,∴·qn-1=.①将两边取以3为底的对数得an=log3(·qn-1)=a1+(n-1)log3q=log3b1+(n-1)log3q.∴数列{an}是以log3b1为首项,log3q为公差的等差数列.(2)∵a1+a20=a8+a13=m,∴a1+a2+…+a20=)=10m,∴b1·b2·…·b20=·…·=…=310m.B组1.已知0abc,且a,b,c成等比数列,n为大于1的整数,则logan,logbn,logcn()A.成等差数列B.成等比数列C.各项倒数成等差数列D.以上都不对解析:∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,又=logna+lognc=lognac=lognb2=2lognb=,∴logan,logbn,logcn的各项倒数成等差数列.故选C.答案:C42.一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为729,则该数列的项数是()A.13B.12C.11D.10解析:设该等比数列为{an},其前n项积为Tn,则由已知得a1·a2·a3=3,an-2·an-1·an=9,(a1·an)3=3×9=33,∴a1·an=3,又Tn=a1·a2·…·an-1·an,Tn=an·an-1·…·a2·a1,∴=(a1·an)n,即7292=3n,∴n=12.答案:B3.在等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,且a5a2,则an等于()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.±(-2)n-1D.-(-2)n解析:∵|a1|=1,∴a1=1或a1=-1.∵a5=-8a2=a2·q3,∴q3=-8,∴q=-2.又a5a2,即a2q3a2,∴a20.而a2=a1q=a1·(-2)0,∴a1=1.故an=a1·(-2)n-1=(-2)n-1.答案:A4.已知等比数列{an}满足an0,n=12…且a5·a2n-5=22n(n≥3)则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析:由等比数列的性质可得=a5·a2n-5=22n=(2n)2,∵an0,∴an=2n,故数列首项a1=2,公比q=2,故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1·a3·…·a2n-1)=log2[(a1)nq0+2+4+…+2n-2]=log2[2n·-)]=log2-=log2=n2,故选C.答案:C5.导学号33194021在数列{an}中,a1=2,当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an-1,则a12=()A.32C.34C.66D.64解析:依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a1×25=64,a12=a11+2=66.故选C.答案:C6.在等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积为.解析:∵a1a2a3·…·a17=(a1·a17)(a2·a16)·…·a9=·…·a9==(-2)17=-217.答案:-21757.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,且a5,a8,a13是等比数列{bn}中相邻的三项,若b2=5,求数列{bn}的通项公式.解∵{an}是等差数列,∴a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d.∵a5,a8,a13是等比数列{bn}中相邻的三项,∴=a5a13,即(a1+7d)2=(a1+4d)(a1+12d),解得d=2a1.∴q=,b2=b1q=5,b1=5,b1=3,∴bn=3·()-.8.导学号33194022已知两个等比数列{an},{bn}满足a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}唯一,求a的值.解(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+√,q2=2-√,故{an}的通项公式为an=(2+√)n-1或an=(2-√)n-1.(2)设{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)·(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0,由a0得Δ=4a2+4a0,故方程aq2-4aq+3a-1=0有两个不同的实根.又{an}唯一,故方程必有一根为0,代入上式得a=.