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13.2等比数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为()A.63B.64C.127D.128解析:设公比为q(q0),则1·q4=16,解得q=2(q=-2舍去).于是S7=--=127.答案:C2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意知,{--两式相减,得3a3=a4-a3,即4a3=a4,则q==4.答案:B3.若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R,且a≠0)则此数列是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列解析:当n=1时,a1=S1=a-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).当a-1=0,即a=1时,该数列为等差数列,当a≠1时,该数列为等比数列.答案:C4.公比q≠-1的等比数列的前3项,前6项,前9项的和分别为S3,S6,S9,则下面等式成立的是()A.S3+S6=S9B.=S3·S9C.S3+S6-S9=D.=S3(S6+S9)解析:由题意知S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列.∴(S6-S3)2=S3(S9-S6),整理得=S3(S6+S9).2答案:D5.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列{}的前5项和为()A.或5B.或5C.D.解析:设{an}的公比为q.由9S3=S6知q≠1于是-)--)-,整理得q6-9q3+8=0,所以q3=8或q3=1(舍去),于是q=2.从而{}是首项为=1,公比为的等比数列.其前5项的和S=-()-.答案:C6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=.解析:设等比数列{an}的公比为q,很明显q≠1则--=4·--,解得q3=3,所以a4=a1q3=3.答案:37.已知lgx+lgx2+…+lgx10=110,则lgx+lg2x+…+lg10x=.答案:20468.已知在等比数列{an}中,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=.解析:设数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=a2q3=,得q=,∴a1==4.∵----=q2=为常数(n≥2)∴数列{anan+1}是以a1a2=4×2=8为首项,以为公比的等比数列,∴a1a2+a2a3+…+anan+1=[-()]-(1-4-n).答案:(1-4-n)9.(2017北京高考)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{an}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.3(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=-.10.导学号33194023已知等差数列{an}满足an+1an(n∈N+),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设Tn=+…+(n∈N+),求Tn.解(1)设d,q分别为等差数列{an}的公差、等比数列{bn}的公比,由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3得2,2+d,4+2d,∴(2+d)2=2(4+2d),∴d=±2.∵an+1an,∴d0,∴d=2.∴an=2n-1(n∈N+).由此可得b1=2,b2=4,b3=8,∴q=2.∴bn=2n(n∈N+).(2)∵Tn=+…+=+…+-,①∴Tn=+…+-,②由①-②得Tn=+…+--,∴Tn=1+----=3---=3-.B组1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列一定成立的是()A.若a30,则a20170B.若a40,则a20160C.若a30,则S20170D.若a40,则S20160解析:若a30,则a3=a1q20,因此a10,当公比q0时,任意n∈N+,an0,故有S20170,当公比q0时,q20170,则S2017=-)-0,故答案为C.答案:C42.已知数列前n项的和Sn=2n-1,则此数列奇数项的前n项的和是()A.(2n+1-1)B.(2n+1-2)C.(22n-1)D.(22n-2)解析:由Sn=2n-1知当n=1时,a1=21-1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1时也适合,∴an=2n-1.∴奇数项的前n项和为Sn=--(4n-1)=(22n-1).答案:C3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则数列{an}的公比为.解析:由S1,2S2,3S3成等差数列知4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),整理得3a3-a2=0,∴,则数列{an}的公比为.答案:4.设数列{xn}满足lgxn+1=1+lgxn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,则x101+x102+…+x200=.解析:由lgxn+1=1+lgxn,得lgxn+1=lg(10xn),即=10.故x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100×100=10102.答案:101025.已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.解析:∵x2-5x+4=0的两根为1和4,又{an}为递增数列,∴a1=1,a3=4,q=2.∴S6=-)-=63.答案:636.导学号33194024数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,n∈N+.(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列;(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.解(1)∵点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n1,且n∈N+),an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,n1,a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,5∴当t=1时,a2=4a1,数列{an}是等比数列.(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)=-).7.导学号33194025设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn,数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若cn=an·bn(n=123…)Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.解(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=.当n≥2时,由bn=2-2Sn及bn-1=2-2Sn-1,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即-.所以{bn}是以为首项,为公比的等比数列,于是bn=.(2)由数列{an}为等差数列,公差d=(a7-a5)=3,可得an=3n-1.从而cn=an·bn=2(3n-1)·,所以Tn=2[…-)],①Tn=2[…-)-)].②①-②得,Tn=2[…-)]=2{[-()-]---}=()--),6Tn=--.