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§3基本不等式3.1基本不等式课后篇巩固探究A组1.已知x,y∈R,下列不等关系正确的是()A.x2+y2≥2|xy|B.x2+y2≤2|xy|C.x2+y22|xy|D.x2+y22|xy|解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立.答案:A2.若x0,y0,且√,则必有()A.2x=yB.x=2yC.x=yD.x=4y解析:因为x0,y0,所以√,即√.又√,所以必有√,所以x=2y.答案:B3.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2√,所以√≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.又cd≤,所以≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.答案:A4.已知0ab,且a+b=1,则下列不等式中,正确的是()A.log2a0B.2a-bC.D.log2a+log2b-2解析:因为0ab,且a+b=1,所以ab(),所以log2a+log2b=log2(ab)log2=-2.答案:D5.若a0,b0,则√与的大小关系是.解析:因为,所以√,当且仅当a=b0时,等号成立.答案:√6.设a0,b0,给出下列不等式:(1)()()≥4;(2)(a+b)()≥4;(3)a2+96a;(4)a2+1+2.其中正确的是.解析:因为a+≥2√=2,b+≥2√=2,所以()()≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,所以(1)正确;因为(a+b)()=1+1+≥2+2·√=4,当且仅当a=b0时,等号成立,所以(2)正确;因为a2+9≥2√=6a,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a2+9=6a,所以(3)不正确;因为a2+1+≥2√=2,当且仅当a2+1=,即a=0时,等号成立,又a0,所以等号不成立,所以(4)正确.答案:(1)(2)(4)7.若a,b为正实数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则,当且仅当时取等号,利用以上结论,函数f(x)=-(∈(,))取得最小值时,x的值为.解析:由题意可知f(x)=--,当且仅当-时,等号成立,解得x=.答案:8.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值.解由x2+y2+xy=1可得(x+y)2=xy+1,又xy≤(),所以(x+y)2≤()+1,整理得(x+y)2≤1,当且仅当x=y时取等号.所以x+y∈[-√,√].所以x+y的最大值为√.9.导学号33194061已知a0,b0,a+b=1,求证:√√≤2.证明因为√√(),当且仅当a=时取等号,同理√,当且仅当b=时取等号.所以√√(a+b)==2,当且仅当a=b=时取等号.所以√√≤2.B组1.已知m0,n0,α=m+,β=n+,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得,m+n=2,所以α+β=m++n+=(m+n)+=2+.因为m0,n0,所以mn≤()=1.所以α+β≥2+=4.当且仅当m=n=1时,等号成立.所以α+β的最小值为4.答案:B2.给出下列四个命题:①若ab,则a2b2;②若a≥b-1,则;③若正整数m和n满足mn,则√-;④若x0,且x≠1,则lnx+≥2,其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④解析:当a=-2,b=1时,ab,但a2b2,故①不成立;对于②,--,因为a≥b-1,所以≥0,故②正确;对于③,√--(mn,且m,n为正整数),当且仅当m=n-m,即m=时,等号成立,故③正确;对于④,当0x1时,lnx0,故④不成立.故选B.答案:B3.在算式4×□+△=30的□、△中,分别填入一个正整数使算式成立,并使填入的正整数的倒数之和最小,则这两个正整数构成的数对(□,△)应为()A.(4,14)B.(6,6)C.(3,18)D.(5,10)解析:可设□中的正整数为x,△中的正整数为y,则由已知可得4x+y=30.因为()()(√),当且仅当,即y=2x时,等号成立,又4x+y=30,所以x=5,y=10,故选D.答案:D4.当x3时,x+-≥a恒成立,则a的最大值为.解析:因为x3,所以x+-=x-3+-+3≥2√--+3=5.当且仅当x-3=-,即x=4时,等号成立.所以由题意可知a≤5.答案:55.若a1,0b1,则logab+logba的取值范围是.解析:因为a1,0b1,所以logab0,logba0,所以-(logab+logba)=(-logab)+(-logba≥2,当且仅当-logab=-logba,即a1,0b1,ab=1时,等号成立.所以logab+logba≤-2.答案:(-∞,-2]6.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:---3.证明---=-3=()()()-3.因为a0,b0,c0,所以≥2,≥2,≥2.又a,b,c不全相等,所以6.所以-36-3=3.故原不等式成立.7.导学号33194062已知abc,且---恒成立.求n的最大值.解因为---,abc,所以(a-c)(--)≥n.又(a-c)(--)=(a-b+b-c)(--)=2+----≥2+2√----=4.当且仅当a-b=b-c,即a+c=2b时,等号成立.由---恒成立,得n≤4,所以n的最大值为4.