搜索
14.2简单线性规划课后篇巩固探究A组1.(2017北京高考)若x,y满足{则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9解析:由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.答案:D2.(2017山东高考)已知x,y满足约束条件{-则z=x+2y的最大值是()A.-3B.-1C.1D.3解析:可行域为如图所示阴影部分(包括边界).把z=x+2y变形为y=-x+z,作直线l0:y=-x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易求点A的坐标为(-1,2),所以zmax=-1+2×2=3.答案:D23.已知在平面直角坐标系xOy内的区域D由不等式组{√√给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(√,1),则z=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为()A.4√B.3√C.4D.3解析:画出可行域,而z=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√x+y,所以y=-√x+z.令l0:y=-√x,将l0平移到过点(√,2)时,截距z有最大值,故zmax=√√+2=4.答案:C4.已知x,y满足{则点P(x,y)到直线x+y=-2的距离的最小值为()A.√B.2√C.√D.√解析:不等式组{所表示的可行域如图阴影部分.其中点P(1,1)到直线的距离最短,其最小值为√=2√.故选B.答案:B5.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.解析:由y=|x-1|={--及y=2画出可行域如图阴影部分.3令2x-y=z,则y=2x-z,画直线l0:y=2x并平移到过点A(-1,2)时,-z最大,即zmin=2×(-1)-2=-4.答案:-46.若变量x,y满足约束条件{-则z=x+2y的最小值为.解析:根据{-得可行域如图,根据z=x+2y得y=-,平移直线y=-,在点M处z取得最小值.由{-得{-此时zmin=4+2×(-5)=-6.答案:-67.若实数x,y满足{-则z=3x+2y的最小值为.解析:不等式组所表示的可行域如图阴影部分.令t=x+2y,则当直线y=-x+t经过原点O(0,0)时,t取最小值,即t的最小值为0,则z=3x+2y的最小值为30=1.答案:148.导学号33194070若实数x,y满足不等式组{---则(x+2)2+(y+1)2的最小值为.解析:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分.√表示可行域内的点D(x,y)与定点M(-2,-1)间的距离.显然当点D在点A(1,2)时,|DM|最小,这时|DM|=3√,故(x+2)2+(y+1)2的最小值是18.答案:189.已知x,y满足约束条件{求z=5x-8y的最大值.解作出不等式组{表示的可行域,如图阴影部分.作直线l0:5x-8y=0,平移直线l0,由图可知,当直线平移到经过A点时,z取最大值.解方程组{得A(6,0),所以zmax=5×6-8×0=30.10.导学号33194071已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5求9a-b的取值范围.解如图所示,令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5求z=9x-y的取值范围,画出不等式表示的可行域如图阴影部分.5由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时,z取最大值,当直线过点B时,z取最小值.由{---得A(3,7),由{----得B(0,1),所以zmax=9×3-7=20,zmin=-1,所以9a-b的取值范围是[-1,20].B组1.在约束条件{下,目标函数z=x+y的最大值为()A.B.C.D.解析:由z=x+y,得y=-2x+2z.作出可行域如图阴影部分,平移直线y=-2x+2z,当直线经过点C时,直线y=-2x+2z在y轴上的截距最大,此时z最大.由{解得点C坐标为(),代入z=x+y,得z=.答案:C2.已知x,y满足约束条件{则(x+3)2+y2的最小值为()A.√B.2√C.8D.106解析:画出可行域(如图).(x+3)2+y2表示点A(-3,0)与可行域内点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.答案:D3.若关于x,y的不等式组{--表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.则m的取值范围是()A.(-)B.(-)C.(--)D.(--)解析:由线性约束条件可画出如图所示的可行域,要使可行域内存在点P(x0,y0),使x0-2y0=2成立,只需点A(-m,m)在直线x-2y-2=0的下方即可,即-m-2m-20,解得m-.故选C.答案:C4.设不等式组{-所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称.对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B,则|AB|的最小值为()A.B.4C.D.2解析:如图所示.由约束条件作出可行域,得D(1,1),E(1,2),C(3,3).要求|AB|min,可通过求可行域内的点到直线3x-4y-9=0距离最小值的2倍来求得.7经分析,点D(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离d=--=2最小,故|AB|min=4.答案:B5.导学号33194072已知实数x,y满足不等式组{----若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一解是(1,3),则实数a的取值范围为()A.(-∞,-1)B.(0,1)C.[1,+∞)D.(1,+∞)解析:作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,由z=y-ax,得y=ax+z,要使目标函数y=ax+z仅在点(1,3)处取最大值,则只需直线y=ax+z仅在点B(1,3)处的截距最大,由图像可知akBD,因为kBD=1,所以a1,即a的取值范围是(1,+∞).答案:D6.导学号33194073设实数x,y满足{----则z=的取值范围是.解析:令k=,则y=kx.因为x≠0所以k存在,直线y=kx恒过原点,而在可行域{----中,当直线过边界点(1,2)时,斜率有最大值,k=2;当直线过边界点(3,1)时,斜率有最小值,k=,所以斜率k的取值范围是[],又z==k+,利用函数单调性的定义可知k∈[]时,z=k+为减函数;k∈[1,2]时,z=k+为增函数,可得z的取值范围为[].答案:[]7.若x,y满足约束条件{--8(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)求点P(x,y)到直线y=-x-2的距离的最大值.解(1)根据约束条件,作出可行域如图,则直线x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移直线x-y+=0,由图像可知过点A时,z取得最小值,zmin=×3-4+=-2,过点C时,z取得最大值,zmax==1.故z的最大值为1,最小值为-2.(2)由图像可知,所求的最大值即是点A到直线x+y+2=0的距离,则d=√√.8.导学号33194074在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点M的横、纵坐标分别为茎叶图中的中位数和众数,若点N(x,y)的坐标满足{-求⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值.解由茎叶图可得中位数为23,众数为23,所以点M为(23,23),所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23x+23y.设z=23x+23y,作出不等式组对应的平面区域如图.作一平行于z=23x+23y的直线,当直线和圆相切时,z=23x+23y取得最大值.由圆心到直线的距离d=√√=2,解得|z|=46√.所以z=46√或z=-46√(舍去),故⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值是46√.