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1第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知ab,则下列不等式①a2b2,②,③-不成立的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:取a=2,b=-4,可知①②③均不成立.答案:D2.不等式(x+3)21的解集是()A.{x|x-2}B.{x|x-4}C.{x|-4x-2}D.{x|-4≤x≤-2}解析:原不等式可化为x2+6x+80,解得-4x-2.答案:C3.若变量x,y满足约束条件{--则z=x-2y的最大值为()A.4B.3C.2D.1解析:画出约束条件表示的可行域如图阴影部分,当目标函数z=x-2y经过x+y=0与x-y-2=0的交点A(1,-1)时,取到最大值3.故选B.答案:B4.已知关于x的不等式ax2+bx-20的解集是(--)(),则ab等于()A.24B.6C.14D.-14解析:由已知得{----所以a=12,b=2.所以ab=24.答案:A5.设a0,若关于x的不等式x+≥4在x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值为()2A.4B.2C.16D.1解析:因为x0,a0,所以x+≥2√.因此要使不等式恒成立,应有2√≥4所以a≥4即a的最小值为4.答案:A6.不等式---0的解集为()A.{x|x-2或x3}B.{x|x-2或1x3}C.{x|-2x1或x3}D.{x|-2x1或1x3}解析:不等式可化为(x+2)(x-3)(x-1)0,由穿针引线法(如图)可得-2x1或x3.答案:C7.已知当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+40有解,则m的取值范围为()A.m-4B.m-4C.m-5D.m-5解析:记f(x)=x2+mx+4,则由二次函数的图像知,当f(1)0或f(2)0时,不等式x2+mx+40在(1,2)上一定有解,即m+50或2m+80,解得m-5.故选C.答案:C8.(2017浙江高考)若x,y满足约束条件{--则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)解析:画出约束条件{--所表示的平面区域为图中阴影部分,由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,zmin=2+2×1=4.3又z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D.答案:D9.已知a2+c2-3=0,则c+2a的最大值是()A.2√B.2√C.2√D.3√解析:解法一:由a2+-3=0,得4a2+c2=12,所以(2a+c)2=4a2+c2+2×2ac≤4a2+c2+4a2+c2=24,当且仅当2a=c=√时取等号,则c+2a的最大值是2√.解法二:由a2+c2-3=0,可得a2+c2=1,令a=√cosα,c=2√sinα,α∈R,可得c+2a=2√sinα+2√cosα=2√sin()≤2√.答案:B10.若变量x,y满足{-且2x-y的最大值为-1,则a的值为()A.0B.1C.-1D.2解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,令z=2x-y,则y=2x-z.因为2x-y的最大值为-1,所以2x-y=-1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点,由图像可知,当直线2x-y=-1经过点C时,z取得最大值,由{--解得{--故a=-1.答案:C11.已知在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]4D.[20,30]解析:矩形的一边长为xm,则其邻边长为(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300得-x2+40x≥300即10≤x≤30.答案:C12.已知点P(x,y)的坐标满足条件{-记的最大值为a,x2+(y+√)2的最小值为b,则a+b=()A.4B.5C.7+4√D.8+4√解析:线性约束条件表示的可行域为直线x=1,y=2,2x+y-2=0围成的三角形及其内部,-可看作点(x,y),(-2,0)连线的斜率,观察图形可知最大值a=1,x2+(y+√)2可看作两点(x,y),(0,-√)间距离的平方,观察图形可知最小值b=4,所以a+b=5.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知m,n为实数,若关于x的不等式x2+mx+n0的解集为(-1,3),则m+n的值为.解析:由题意得,-1,3为方程x2+mx+n=0的两根,因此-1+3=-m,-1×3=n⇒m=-2,n=-3,则m+n=-5.答案:-514.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析:一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=4()≥4×2√=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.答案:3015.若函数f(x)=√--的定义域为R,则a的取值范围是.解析:依题意得--1≥0恒成立,即x2+2ax-a≥0恒成立,因此Δ=4a2+4a≤0解得-1≤a≤0.答案:[-1,0]16.若变量x,y满足{--则z=log2(x-y+5)的最大值为.5解析:根据约束条件作出可行域如图.由z=log2(x-y+5),得2z=x-y+5,即y=x+5-2z,作直线l0:x-y=0,当直线l0过原点(0,0)时,2z最大,即2z=5,此时z最大,所以当x=y=0时,zmax=log25.答案:log25三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设ƒ(x)=(x0).(1)求ƒ(x)的最大值.(2)证明:对任意实数a,b,恒有ƒ(a)b2-3b+.(1)解f(x)=√=2√,当且仅当{即x=2√时,等号成立.所以ƒ(x)的最大值为2√.(2)证明b2-3b+(-)+3,当b=时,b2-3b+有最小值3,由(1)得,ƒ(a)有最大值2√.又因为2√3,所以对任意实数a,b都有ƒ(a)b2-3b+.18.(本小题满分12分)已知实数x,y满足约束条件{-设不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,求实数a的取值范围.解作出约束条件{-所对应的可行域D(如图阴影部分),直线y=a(x+1)表示过点A(-1,0),且斜率为a的直线,联立{-解得{即B(3,3),由斜率公式可得kAB=---,结合图像可得,要使直线y=a(x+1)与区域D有公共点,需使a≤.所以a的取值范围为(-].619.导学号33194080(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车以xkm/h的速度匀速开往400km处的地震灾区,为安全起见,每辆汽车的前后间距不得小于()km,问这批物资全部到达灾区,最少要用多少小时?解设这批物资全部到达灾区需用yh,由题意可知,y相当于最后一辆车行驶[()]km所用的时间,所以y=()≥2×√=10,当且仅当,即x=80时,等号成立.所以这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为10h.20.导学号33194081(本小题满分12分)已知不等式mx2+nx-0的解集为{|-或}.(1)求m,n的值;(2)解关于x的不等式(2a-1-x)(x+m)0,其中a是实数.解(1)依题意得{--(-)-解得m=-1,n=.(2)原不等式为(2a-1-x)(x-1)0,即[x-(2a-1)](x-1)0.①当2a-11,即a1时,2a-1x1;②当2a-1=1,即a=1时,不等式的解不存在;③当2a-11,即a1时,1x2a-1.综上,当a1时,原不等式的解集为{x|2a-1x1};当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a1时,原不等式的解集为{x|1x2a-1}.721.(本小题满分12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元.要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解设投资人用x万元投资甲项目,用y万元投资乙项目,盈利为z万元.由题意知{目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域.作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M,且与直线x+0.5y=0的距离最大,点M是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组{得{此时zmax=4+0.5×6=7.故当x=4,y=6时,z取得最大值.答:投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.22.导学号33194082(本小题满分12分)某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经测算,当某产品促销费用为x万元时,销售量t万件满足t=5-(其中0≤x≤a2-3a+3,且a0).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为()万元/万件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.8解(1)由题意知,y=()×t-(10+2t)-x,又t=5-,代入化简得y=20-()0≤x≤a2-3a+3,且a0).(2)当1≤a2-3a+3,即a≥2或0a≤1时,y=21-()≤21-2√=17,当且仅当=x+1,即x=1时,等号成立.促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;当a2-3a+31,即1a2时,y'=--0,所以y=21-()在[0,a2-3a+3]上是增加的,所以,当x=a2-3a+3时,函数取得最大值.所以促销费用投入(a2-3a+3)万元时,厂家的利润最大.综上所述,当a≥2或0a≤1时,此时促销费用投入1万元,厂家的利润最大;当1a2时,此时促销费用投入(a2-3a+3)万元,厂家的利润最大.