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11.2余弦定理课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,已知a=2,b=3,cosC=,则边c长为()A.2B.3C.√D.√解析:因为c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.答案:B2.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析:因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.答案:C3.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-√ab,则△ABC的最大内角为()A.60°B.90°C.120°D.150°解析:由已知得,c2=a2+b2+√ab,所以ca,cb,故C为最大内角.由cosC=-=-√,得C=150°,故选D.答案:D4.在△ABC中,若a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的直径为()A.4√B.6C.5√D.6√解析:因为S△ABC=acsinB=·c·sin45°=√c=2,所以c=4√.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4√√=25,所以b=5.所以△ABC外接圆直径2R==5√.答案:C5.已知在△ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是√,则△ABC的面积是()A.√B.C.√D.√2解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sinA=√.又ABC,所以A=120°,所以cosA=-,即-=-,所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.所以a=7,b=5,c=3,A=120°.S△ABC=bcsinA=×5×3×√√.答案:A6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cosB=,则c=.解析:因为cosB=,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a×2a×,解得a=2,所以c=4.答案:47.设△ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√bc,则sinA的值为.解析:由已知得b2+c2-a2=√bc,于是cosA=√√,从而sinA=√-.答案:8.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=.解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=ca·cosB=ca·-=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.答案:199.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解(1)由b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又b=2,a+c=6,cosB=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sinB=√-√,由正弦定理得sinA=√.因为a=c,所以A为锐角,所以cosA=√-.3因此sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=√.10.导学号33194039已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sinA-cosA,1-sinA),q=(2+2sinA,sinA+cosA),p与q是共线向量,且≤A≤.(1)求角A的大小;(2)若sinC=2sinB,且a=√,试判断△ABC的形状,并说明理由.解(1)因为p∥q,所以(sinA-cosA)(sinA+cosA)-2(1-sinA)(1+sinA)=-cos2A-2cos2A=0,所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-.因为≤A≤,所以≤2A≤π,所以2A=,所以A=.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:由cosA=,a=√及余弦定理得b2+c2-bc=3.又sinC=2sinB,由正弦定理得c=2b.联立可得{-解得{所以a2+b2=(√)2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.B组1.在△ABC中,若△ABC的面积S=(a2+b2-c2),则C=()A.B.C.D.解析:由S=(a2+b2-c2),得absinC=×2abcosC,所以tanC=1,又C∈(0,π),所以C=.答案:A2.在△ABC中,若sinA-sinA·cosC=cosAsinC,则△ABC的形状是()A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:由正弦定理、余弦定理,知sinA-sinAcosC=cosAsinC可化为a(--)-·c,整理,得a=b,所以△ABC是等腰三角形,选B.答案:B3.已知△ABC各角的对边分别为a,b,c,满足≥1则角A的范围是()A.(]B.(]C.[)D.[)4解析:将不等式≥1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2≥bc,所以cosA=-,所以0A≤,故选A.答案:A4.在△ABC中,若边长和内角满足a2-b2=√bc,=2√,则A=.解析:因为=2√,所以c=2√b.又a2-b2=√bc,所以cosA=--√-√√,又A∈(0,π),所以A=.答案:5.已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对边分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+accosB+abcosC的值为.解析:bccosA+accosB+abcosC=bc·-+ac·-+ab·-=(b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2)=(a2+b2+c2)=.答案:6.导学号33194040已知点O是△ABC的重心,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a·⃗⃗⃗⃗⃗+b·⃗⃗⃗⃗⃗√c·⃗⃗⃗⃗⃗=0,则角C的大小是.解析:因为点O是△ABC的重心,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,又因为2a·⃗⃗⃗⃗⃗+b·⃗⃗⃗⃗⃗√c·⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以2a=b=√c=k(k0),从而a=,b=k,c=√k,由余弦定理得cosC=--,又因为C∈(0,π),所以C=,所以角C的大小是.答案:7.导学号33194041在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=3√.(1)求cosC的值;(2)若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,且a+b=9,求c.解(1)因为tanC=3√,所以=3√,又因为sin2C+cos2C=1,解得cosC=±,由tanC0知,C为锐角,所以cosC=.5(2)由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,得abcosC=,即ab=20.又因为a+b=9,则a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41.由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC=41-2×20×=36,故c=6.8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=√,a+c=4,求△ABC的面积.解(1)由余弦定理知,cosB=-,cosC=-.将上式代入=-,得--=-,整理得a2+c2-b2=-ac.所以cosB=-=-=-.因为B为三角形的内角,所以B=.(2)将b=√,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,即b2=(a+c)2-2ac-2accosB得,13=16-2ac(-),所以ac=3.所以S△ABC=acsinB=√.