20202021学年高中数学第二章解三角形22三角形中的几何计算课后习题含解析北师大版必修5

1§2三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=√,则角B的平分线的长是()A.√B.2√C.1D.√解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=√,由正弦定理可知BD=1.答案:C2.在△ABC中,若AC=√,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.√B.√C.√√D.√√解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即7=AB2+4-2×2×AB×.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC边上的高AD=AB·sinB=3×sin60°=√.答案:B3.若△ABC的周长等于20,面积是10√,A=60°,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bcsinA,得10√bc×sin60°,即bc=40.又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.2答案:C4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA=acosC.当√sinA-cos()取最大值时,A的大小为()A.B.C.D.解析:由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因为0Aπ,所以sinA0,从而sinC=cosC.又cosC≠0,所以tanC=1,则C=,所以B=-A.于是√sinA-cos()√sinA-cos(π-A)=√sinA+cosA=2sin().因为0A,所以A+,所以当A+,即A=时,2sin()取最大值2.答案:A5.导学号33194042在△ABC中,若C=60°,c=2√,周长为2(1+√√),则A为()A.30°B.45°C.45°或75°D.60°解析:根据正弦定理,得2R==√√=√√,所以sinA+sinB+sin60°=√√√√,所以sinA+sinB=√√,即sinA+sin(A+C)=√√⇒sin(A+60°)+sinA=√√⇒√sin(A+30°)=√√√⇒sin(A+30°)=√√,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.答案:C6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是.解析:设另两边分别为3x,2x,则3cos60°=-,解得x=√,故两边长为3√和2√,所以S=×3√×2√×sin60°=√.答案:√7.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD=.解析:如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以×3×2sin60°=×3ADsin30°+×2AD×sin30°,所以AD=√.答案:√8.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,∠BAC=.解析:设∠BAC=θ,则BC2=a2+b2-2abcosθ.S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=absinθ+√BC2=√(a2+b2)+ab·sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S四边形ABDC取得最大值.答案:150°9.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)·cos120°,则a=10,所以三边长为6,10,14,S△ABC=×6×10×sin120°=15√.答案:15√10.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a⃗⃗⃗⃗⃗√⃗⃗⃗⃗⃗+3c⃗⃗⃗⃗⃗=0,则sinA∶sinB∶sinC=.4解析:因为G是△ABC的重心,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,又2a⃗⃗⃗⃗⃗√⃗⃗⃗⃗⃗+3c⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以2a⃗⃗⃗⃗⃗√⃗⃗⃗⃗⃗-3c(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0,即(2a-3c)⃗⃗⃗⃗⃗+(√b-3c)⃗⃗⃗⃗⃗=0,则{-,√-,所以a∶b∶c=3∶2√∶2,由正弦定理,得sinA∶sinB∶sinC=3∶2√∶2.答案:3∶2√∶211.导学号33194043(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故S△ABC=acsinB=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×()=4.所以b=2.12.导学号33194044(2017全国3高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+√cosA=0,a=2√,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解(1)由已知可得tanA=-√,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2√,所以△ABD的面积为√.5