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§3解三角形的实际应用举例课后篇巩固探究1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案:(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)①测量A,C,b②测量a,b,C③测量A,B,a④测量a,b,B则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④解析:已知三角形的两角及一边,可以确定三角形,故①③正确;已知两边及夹角,可以确定三角形,故②正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故④错误.故选A.答案:A2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20m,则折断点与树干底部的距离是()m.A.√B.10√C.√D.20√解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,所以∠OAB=60°.由正弦定理知,,所以AO=√(m).答案:A3.已知一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过√h,该船实际航程为()A.2√kmB.6kmC.2√kmD.8km解析:如图,因为|⃗⃗⃗⃗⃗|=2km/h,|⃗⃗⃗⃗⃗|=4km/h,∠AOB=120°,所以∠OAC=60°,|⃗⃗⃗⃗⃗|=√=2√(km/h).经过√h,该船的实际航程为2√√=6(km).答案:B4.甲船在B岛的正南方10km处,且甲船以4km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是()A.minB.hC.21.5minD.2.15h解析:如图,设经过xh后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在△BPQ中,BP=(10-4x)km,BQ=6xkm,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos∠PBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos120°=28x2-20x+100.当x=--时,s最小,此时h=min.答案:A5.已知一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.20(√√)海里/时B.20(√√)海里/时C.20(√√)海里/时D.20(√√)海里/时解析:设货轮航行30分后到达N处,由题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°,则∠MSN=180°-105°-45°=30°.而MS=20海里,在△MNS中,由正弦定理得,即MN===√√=10(√√)(海里).故货轮的速度为10(√√)÷=20(√√)(海里/时).答案:B6.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10000m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为()A.2500(√-1)mB.5000√mC.4000mD.4000√m解析:如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10000m,所以∠ACB=45°.由正弦定理,得,又cos75°=,所以BD=·cos75°=2500(√-1)(m).答案:A7.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险区,城市B在A的正东40km处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h解析:设th后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40cos45≤302.化简得4t2-8√t+7≤0,所以t1+t2=2√,t1·t2=.从而|t1-t2|=√-=1.答案:B8.如图,已知海岸线上有相距5nmile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距3√nmile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5nmile的C处,则两艘船之间的距离为nmile.解析:连接AC,BC=AB=5nmile,∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,所以AC=5nmile,且∠DAC=180°-75°-60°=45°.在△ACD中,由余弦定理得CD2=(3√)2+52-2×3√×5×cos45°=13,所以CD=√nmile.故两艘船之间的距离为√nmile.答案:√9.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高60m,则山高为.解析:在△ABC中,BC=60m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,由正弦定理,得AC==30(√√)(m).所以CD=AC·sin45°=30(√+1)(m).答案:30(√+1)m10.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=50m,则山高MN=m.解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=50m,所以AC=50√m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理得,,因此AM=50√m.在Rt△MNA中,AM=50√m,∠MAN=60°,由=sin60°,得MN=50√√=75(m).答案:7511.导学号33194045如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两条木栈道,∠MCN=120°.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;(2)已知AB=12,记∠ABC=θ,试用θ表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.解(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为4,所以a=b-4,c=b+4,因为∠MCN=120°,所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos120°,解得b=10.(2)由题意,得-,所以AC=8√sinθ,BC=8√sin(60°-θ),所以观景路线A-C-B的长AC+BC=8√sinθ+8√sin(60°-θ)=8√sin(60°+θ)(0°θ60°).所以当θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8√百米.12.导学号33194046如图,一艘船由西向东航行,测得某岛M的方位角为α,前进5km后测得此岛的方位角为β.已知该岛周围3km内有暗礁,现该船继续东行.(1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险?(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险?解(1)设岛M到直线AB的距离MC为dkm,则AC=dtanαkm,BC=dtanβkm.由AC-BC=AB,得dtanα-dtanβ=5,d=-.当α=2β=60°时,d=√-√√3,所以此时没有触礁的危险.(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使d3,即-3.因为0βα,所以tanα-tanβ0,所以tanα-tanβ,所以当α,β满足tanα-tanβ时,该船没有触礁的危险.方法二:设CM=xkm,由,即-,解得x=-,所以当-3时没有触礁危险.13.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10nmile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度航行,海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(角度精确到0.1°,时间精确到1min).解如图,设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh,则AB=21xnmile,BC=9xnmile,AC=10nmile,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,根据余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,即(21x)2=102+(9x)2-2×10×9xcos120°,亦即36x2-9x-10=0,解得x1=,x2=-(舍去),所以AB=14nmile,BC=6nmile.由余弦定理可得cos∠BAC=-=-≈0.9286,所以∠BAC≈21.8°,所以方位角为45°+21.8°=66.8°,又因为h=40min,所以舰艇应以北偏东66.8°的方向航行,靠近渔船需要40min.