20202021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数函数模型及其应用理

1函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤1．（2020•山东）基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感2染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rtIte描述累计感染病例数()It随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与0R，T近似满足01RrT．有学者基于已有数据估计出03.28R，6T．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(20.69)lnA．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【答案】B【解析】把03.28R，6T代入01RrT，可得0.38r，0.38()tIte，当0t时，(0)1I，则0.382te，两边取对数得0.382tln，解得21.80.38lnt．故选B．2．（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(Itt的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()1tKIte，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95ItK时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为()(193)lnA．60B．63C．66D．69【答案】C【解析】由已知可得0.23(53)0.951tKKe，解得0.23(53)119te，两边取对数有0.23(53)19tln，解得66t，故选C．3．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为1M，月球质量为2M，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()MMMRrRrrR．设rR．由于的值很小，因此在近似计算中34532333(1)，则r的近似值为()3A．21MRMB．212MRMC．2313MRMD．2313MRM【答案】D【解析】rR．rR，r满足方程：121223()()MMMRrRrrR．3453221333(1)MM，2313MrRRM．故选D．4．（2020•上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为qvx，x为道路密度，q为车辆密度．801100135(),040()3(40)85,4080xxvfxkxx剟．（1）若交通流量95v，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度80x，交通流量50v，求车辆密度q的最大值．【解析】（1）qvx，v越大，x越小，()vfx是单调递减函数，0k，当4080x剟时，v最大为85，于是只需令801100135()953x，解得803x，故道路密度x的取值范围为80(0,)3．（2）把80x，50v代入()(40)85vfxkx中，得504085k，解得78k．4801100135(),04037(40)85,40808xxxxqvxxxxx剟，①当040x时，801100135()1003xv，100404000qvx．②当4080x剟时，q是关于x的二次函数，271208qxx，对称轴为4807x，此时q有最大值，为2748048028800()12040008777．综上所述，车辆密度q的最大值为288007．5．（2020•上海）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)Bx，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t，函数()tfx表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t，求60(10)f、60(80)f、60(95)f的值，并写出60()fx的函数解析式；（2）若可以通过()tfx与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)，2(60,0)，60(10)f表示与(10,0)B距离最近的投放点（即2)的距离，所以60(10)|6010|50f，同理分析，60(80)|6080|20f，60(95)|12095|25f，由题意得，60(){|60|fxx，|120|}minx，则当|60||120|xx„，即90x„时，60()|60|fxx；当|60||120|xx，即90x时，60()|120|fxx；综上60|60|,90()|120|,90xxfxxx„；（2）由题意得(){||tfxtx，|120|}minx，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)ttxxtfxxxt„，则()tfx与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244Stttt，由题意，(60)SS，即2360360027004tt，解得2060t，即垃圾投放点2建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利．56．（2019•上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1tfte研究函数()ft的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解析】（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．（2）6.44200.1136tye是减函数，且6.44200.11360tye，6.44200.1136357876.6053()1tfte在N上单调递增，令6.44200.1136357876.60531200001te，解得50.68t，当51t…时，我国卫生总费用超过12万亿，6预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．7．（2017•上海）根据预测，某地第*()nnN个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中4515,1310470,4nnnann剟…，5nbn，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量24(46)8800nSn（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）4515,1310470,4nnnann剟…，5nbn41511520a42521595a435315420a4104470430a1156b2257b3358b4459b前4个月共投放单车为12342095420430965aaaa，前4个月共损失单车为1234678930bbbb，该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530935．（2）令nnab…，显然3n„时恒成立，当4n…时，有104705nn…，解得46511n„，第42个月底，保有量达到最大．当4n…，{}na为公差为10等差数列，而{}nb为等差为1的等差数列，到第42个月底，单车保有量为442142430506473953542395354287822222aabb．74241688008736S．87828736，第42个月底单车保有量超过了容纳量．8．（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若19n，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】（Ⅰ）当19n时，19200,193800,1919200(19)500,195005700,19xxyxxxx剟（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．8则19n…n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：1(7019200430020480010)4000100（元)假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零