20202021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数函数的奇偶性与周期性理

函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)的定义域关于原点对称．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能否得到函数f(x)的周期？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1fx(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.3．若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．1．（2020·山东卷）若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是（）A.[)1,1][3,B.3,1][,[01]C.[1,0][1,)D.[1,0][1,3]【答案】D【解析】因为定义在R上的奇函数()fx在(,0)上单调递减，且(2)0f，所以()fx在(0,)上也是单调递减，且(2)0f，(0)0f，所以当(,2)(0,2)x时，()0fx，当(2,0)(2,)x时，()0fx，所以由(10)xfx可得：021012xxx或或001212xxx或或0x解得10x≤≤或13x，所以满足(10)xfx的x的取值范围是[1,0][1,3]，2.（2020·天津卷）已知函数()sin3fxx．给出下列结论：①()fx的最小正周期为2；②2f是()fx的最大值；③把函数sinyx的图象上所有点向左平移3个单位长度，可得到函数()yfx的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【答案】B【解析】因为()sin()3fxx，所以周期22T，故①正确；51()sin()sin122362f，故②不正确；将函数sinyx的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin()3yx的图象，故③正确.3.（2020·江苏卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，23 fxx，则f(-8)的值是____.【答案】-4【解析】23(8)84f，因为()fx为奇函数，所以(8)(8)4ff4．（2019·全国Ⅲ卷）设fx是定义域为R的偶函数，且在0,+单调递减，则（）A．f（log314）＞f（322）＞f（232）B．f（log314）＞f（232）＞f（322）C．f（322）＞f（232）＞f（log314）D．f（232）＞f（322）＞f（log314）【答案】C【解析】fx是定义域为R的偶函数，331(log)(log4)4ff．223303322333log4log31,1222,log422，又fx在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log4)22fff，即23323122log4fff.故选C．5．（2019·全国Ⅱ卷）设函数()fx的定义域为R，满足(1)2()fxfx，且当(0,1]x时，()(1)fxxx．若对任意(,]xm，都有8()9fx，则m的取值范围是（）A．9,4B．7,3C．5,2D．8,3【答案】B【解析】∵(1)2()fxfx，()2(1)fxfx．∵(0,1]x时，1()(1)[,0]4fxxx；∴(1,2]x时，1(0,1]x，1()2(1)2(1)(2),02fxfxxx；∴(2,3]x时，1(1,2]x，()2(1)4(2)(3)[1,0]fxfxxx，如图：当(2,3]x时，由84(2)(3)9xx解得173x，283x，若对任意(,]xm，都有8()9fx，则73m.则m的取值范围是7,3.故选B.6．（2019·全国Ⅱ卷）已知()fx是奇函数，且当0x时，()eaxfx.若(ln2)8f，则a__________．【答案】-3【解析】由题意知()fx是奇函数，且当0x时，()eaxfx，又因为ln2(0,1)，(ln2)8f，所以ln2e8a，两边取以e为底数的对数，得ln23ln2a，所以3a，即3a．7．（2019·北京卷）设函数eexxfxa（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】1,0【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用()0fx可得a的取值范围.，若函数eexxfxa为奇函数，则,fxfx即eeeexxxxaa，即1ee0xxa对任意的x恒成立，则10a，得1a.若函数eexxfxa是R上的增函数，则()ee0xxfxa在R上恒成立，即2exa在R上恒成立，又2e0x，则0a，即实数a的取值范围是,0.8．（2019·江苏卷）设(),()fxgx是定义在R上的两个周期函数，()fx的周期为4，()gx的周期为2，且()fx是奇函数.当2(]0,x时，2()1(1)fxx，(2),01()1,122kxxgxx，其中k0.若在区间(0，9]上，关于x的方程()()fxgx有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲.【答案】12,34【解析】作出函数()fx，()gx的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)fxx的图象与1()(12,34,56,78)2gxxxxx的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程()()fxgx有2个不同的实数根，要使关于x的方程()()fxgx有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]fxxx与()(2),(0,1]gxkxx的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kxyk的距离为1，可得2|3|11kk，解得2(0)4kk，∵两点(2,0),(1,1)连线的斜率13k，∴1234k，综上可知，满足()()fxgx在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为1234，.9．（2018·浙江卷）函数y=2xsin2x的图象可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】令2sin2xfxx，因为,2sin22sin2xxxfxxxfxR，所以2sin2xfxx为奇函数，排除选项A,B;因为π,π2x时，0fx，所以排除选项C，故选D．10．（2018·全国Ⅱ卷）已知fx是定义域为,的奇函数，满足11fxfx．若12f，则123fff50fA．50B．0C．2D．50【答案】C【解析】因为fx是定义域为,的奇函数，且11fxfx，所以113114fxfxfxfxfxT，，,因此1235012123412ffffffffff，因为3142ffff，，所以12340ffff，因为200ff，从而1235012fffff.故选C．11．（2018·江苏卷）函数fx满足4fxfxxR，且在区间2,2上，πcos,02,21,20,2xxfxxx则15ff的值为________．【答案】22【解析】由4fxfx得函数fx的周期为4，所以111516111,22fff因此1π215cos.242fff1．（2020•深圳模拟）设()fx是定义在R上以2为周期的偶函数，当[2x，3]时，()fxx，则[2x，0]时，()fx的解析式为()A．()2|1|fxxB．()3|1|fxxC．()2fxxD．()4fxx【答案】B【解析】①当[2x，1]时，则4[2x，3]，因为当[2x，3]时，()fxx，所以(4)4fxx．又因为()fx是周期为2的周期函数，所以()(4)4fxfxx．所以当[2x，1]时，()4fxx．②当[1x，0]时，则2[2x，3]，因为当[2x，3]时，()fxx，所以(2)2fxx．又因为()fx是周期为2的周期函数，所以()(2)2fxfxx．因为函数()fx是定义在实数R上的偶函数，所以()()(2)2fxfxfxx．所以由①②可得当[2x，0]时，()3|1|fxx．故选B．2．（2020•东湖区校级一模）已知2()fxaxbx是定义在[1a，2]a上的偶函数，那么ab的值是()A．13B．13C．12D．12【答案】B【解析】依题意得：()()fxfx，0b，又12aa，13a，13ab．故选B．3．（2019秋•上高县校级月考）已知一个奇函数的定义域为{1，2，a，}b，则(ab)A．1B．1C．0D．2【答案】A【解析】因为一个奇函数的定义域为{1，2，a，}b，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于2，所以121ab．故选A．4．（2019•广东学业考试）设()fx是奇函数，且当(0,)x时，()(1)fxxx，则当(,0)x时，()fx等于()A．(1)xxB．(1)xxC．(1)xxD．(1)xx【答案】C【解析】当0x时，0x，代入函数在(0,)上的解析式，得()(1)fxxx，()fx是奇函数，()()(1)fxfxxx，故选C．5．（2019•西湖区校级模拟）已知函数()yfx在R上为奇函数，且当0x…时，2()2fxxx，则当0x时，()fx的解析式是()A．()(2)fxxxB．()(2)fxxxC．()(2)fxxxD．()(2)fxxx【答案】A【解析】任取0x则0x，0x…时，2()2fxxx，2()2fxxx，①又函数()yfx在R上为奇函数()()fxfx②由①②得0x时，()(2)fxxx故选A．6．（2019秋•正定县校级期中）已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，当0x…时，3()(1)fxxx，则当0x时，()fx表达式是()A．3(1)xxB．3(