20202021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数幂函数与二次函数理

幂函数与二次函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝12xy＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域RR值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．提示a0且Δ≤0.3．函数y＝2x2是幂函数吗？提示不是．1．（2016•新课标Ⅲ）已知432a，254b，1325c，则()A．bacB．abcC．bcaD．cab【答案】A【解析】423324a，2244255534(2)22ba，1233242554233ca，综上可得：bac，故选A．2．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升)加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升【答案】B【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量4868；故选B．3．（2017•浙江）若函数2()fxxaxb在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则(Mm)A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】函数2()fxxaxb的图象是开口朝上且以直线2ax为对称轴的抛物线，①当12a或02a，即2a，或0a时，函数()fx在区间[0，1]上单调，此时|Mmf（1）(0)||1|fa，故Mm的值与a有关，与b无关②当1122a剟，即21a剟时，函数()fx在区间[0，]2a上递减，在[2a，1]上递增，且(0)ff（1），此时2(0)()24aaMmff，故Mm的值与a有关，与b无关③当1022a„，即10a„时，函数()fx在区间[0，]2a上递减，在[2a，1]上递增，且(0)ff（1），此时Mmf（1）2()124aafa，故Mm的值与a有关，与b无关综上可得：Mm的值与a有关，与b无关故选B．4．（2017•上海）函数2()(1)fxx的单调递增区间是()A．[0，)B．[1，)C．(，0]D．(，1]【答案】B【解析】函数()fx的对称轴是1x，开口向上，故()fx在[1，)递增，故选B．5．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()fxxR满足()(2)fxfx，若函数2|23|yxx与()yfx图象的交点为1(x，1)y，2(x，2)y，，(mx，)my，则1(miix)A．0B．mC．2mD．4m【答案】B【解析】函数()()fxxR满足()(2)fxfx，故函数()fx的图象关于直线1x对称，函数2|23|yxx的图象也关于直线1x对称，故函数2|23|yxx与()yfx图象的交点也关于直线1x对称，故122miimxm，故选B．6．（2018•上海）已知{2，1，11,22，1，2，3}，若幂函数()fxx为奇函数，且在(0,)上递减，则__________．【答案】1【解析】{2，1，11,22，1，2，3}，幂函数()fxx为奇函数，且在(0,)上递减，a是奇数，且0a，1a．故答案为：1．7．（2019•上海）如图，已知正方形OABC，其中(1)OAaa，函数23yx交BC于点P，函数12yx交AB于点Q，当||||AQCP最小时，则a的值为__________．【答案】3【解析】由题意得：P点坐标为(3a，)a，Q点坐标为1(,)aa，11||||233aAQCPa…，当且仅当3a时，取最小值，故答案为：3．8．（2016•上海）函数221yxx在区间[0，]m上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是__________．【答案】12m剟【解析】22()21(1)fxxxx，对称轴1x，f（1）0，f（2）1，(0)1f，2()21fxxx在区间[0，]m上的最大值为1，最小值为0，21()(1)1mfmm…„，12m剟，故答案为：12m剟．1．（2020•重庆模拟）已知点1(2,)8在幂函数()nfxx的图象上，设3()3af，()bfln，2()2cf，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．abcC．bcaD．acb【答案】C【解析】点1(2,)8在幂函数()nfxx的图象上，128n，3n，幂函数331()fxxx，在(0,)上单调递减，又32132ln，32()()()32fffln，即acb，故选C．2．（2020•三明模拟）已知幂函数2242()(1)mmfxmx在(0,)上单调递增，函数()2xgxt，对于任意1[1x，5)时，总存在2[1x，5)使得12()()fxgx，则t的取值范围是()A．B．7t…或1t„C．7t或tlD．17t剟【答案】D【解析】幂函数2242()(1)mmfxmx在(0,)上单调递增，22(1)1420mmm，解得0m，2()fxx，当1[1x，5)时，1()[1fx，25)，设集合[1A，25)，又当2[1x，5)时，2()[2gxt，32)t，设集合[2Bt，32)t，由题意得：AB，213225tt„…，解得：17t剟，故选D．3．（2020•武昌区模拟）已知点(,8)m在幂函数()(1)nfxmx的图象上，设()mafn，()bfln，()cfn，则()A．bacB．abcC．bcaD．acb【答案】B【解析】由幂函数的定义可知，11m，2m，点(2,8)在幂函数()nfxx上，28n，3n，幂函数解析式为3()fxx，在R上单调递增，23mn，13ln，3n，mlnnn，abc，故选B．4．（2020•金安区校级模拟）已知幂函数1()nfxmx是定义在区间[2，]n上的奇函数，设2(sin)7af，2(cos)7bf，2(tan)7cf，则()A．bacB．cbaC．bcaD．abc【答案】A【解析】根据幂函数1()nfxmx是定义在区间[2，]n上的奇函数，得1m，且20n，解得2n；3()fxx，且在定义域R上是单调增函数；又20472，222cossin1tan777，222(cos)(sin)(tan)777fff，即bac．故选A．5．（2020•B卷模拟）已知幂函数()yfx的图象经过点(4,2)，则f（2）()A．14B．4C．22D．2【答案】D【解析】设()afxx，因为幂函数图象过(4,2)，则有24a，12a，即12()fxx，f（2）1222故选D．6．（2020•江门模拟）若函数()fx是幂函数，且满足(4)3(2)ff，则1()2f的值为()A．3B．13C．3D．13【答案】D【解析】设()(fxx为常数），满足(4)3(2)ff，432，2log3．23()logfxx．则2311()223logf．故选D．7．（2020•福田区校级模拟）已知幂函数1()(21)agxax的图象过函数1()(0,1)2xbfxmmm的图象所经过的定点，则b的值等于()A．12B．22C．2D．2【答案】B【解析】函数1()(21)agxax是幂函数，211a，解得1a，2()gxx；令0xb，解得xb，函数1()2xbfxm的图象经过定点1(,)2b，212b，解得22b．故选B．8．（2013秋•鹰潭期末）对于幂函数45()fxx，若120xx，则12()2xxf，12()()2fxfx大小关系是()A．1212()()()22xxfxfxfB．1212()()()22xxfxfxfC．1212()()()22xxfxfxfD．无法确定【答案】A【解析】幂函数45()fxx在(0,)上是增函数，图象是上凸的，当120xx时，应有1212()()()22xxfxfxf．故选A．9．（2018•保定一模）已知函数()fx既是二次函数又是幂函数，函数()gx是R上的奇函数，函数()()1()1gxhxfx，则(2018)(2017)(2016)hhhh（1）(0)(1)(2016)(2017)(2018)(hhhhh)A．0B．2018C．4036D．4037【答案】D【解析】函数()fx既是二次函数又是幂函数，2()fxx，()1fx为偶函数；函数()gx是R上的奇函数，()()()1gxmxfx为定义域R上的奇函数；函数()()1()1gxhxfx，()()()()()()[1][1][]22()1()1()1()1gxgxgxgxhxhxfxfxfxfx，(2018)(2017)(2016)hhhh（1）(0)(1)(2016)(2017)(2018)hhhhh[(2018)(2018)][(2017)(2017)][hhhhh（1）(1)](0)hh22212201814037．故选D．10．（2019•大武口区校级三模）已知点(2,8)在幂函数()nfxx的图象上，设32(),(),()32afbflncf，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．bcaD．bac【答案】A【解析】由点(2,8)在幂函数()nfxx的图象上，得82n，即3n．3()fxx，单调递增，又1ln，32132，acb．故选A．11．（2019•陕西二模）已知点(2,8)在幂函数()nfxx图象上，设0.51(())2af，0.2(2)bf，21(log)2cf，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．abcC．cbaD．bca【答案】A【解析】点(2,8)在幂函数()nfxx图象上，f（2）28n，解得3n，3()fx