20202021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数指数与指数函数理

1指数与指数函数1．分数指数幂(1)mna＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；-mna＝1mna(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x0时，y1；当x0时，0y1(5)当x0时，0y1；当x0时，y1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数概念方法微思考1.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.2．结合指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质说明ax1(a0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．提示当a1时，ax1的解集为{x|x0}；当0a1时，ax1的解集为{x|x0}．1．（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：C)满足函数关系(2.718kxbyee为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0C的保鲜时间是192小时，在22C的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时2【答案】C【解析】kxbye(2.718e为自然对数的底数，k，b为常数）．当0x时，192be，当22x时2248kbe，224811924ke1112ke192be当33x时，3311331()()()192242kbkbeee故选C．2．（2016•全国）若函数([1xyax，1])(0a且1)a的最大值与最小值之和为3，则22(aa)A．9B．7C．6D．5【答案】B【解析】函数(0xyaa且1)a在[1，1]上单调，当1x时，1ya；当1x时，ya．则13aa，两边同时平方得：2229aa，227aa．故选B．1．（2020•雨花区校级模拟）设2222111148()3444541004M，则与M最接近的整数为()A．18B．20C．24D．25【答案】D【解析】2222111148()3444541004M11148[](32)(32)(42)(42)(1002)(1002)111148()15263798102111111111112[()()()()()]15263797101981023111111112(1)2349910010110211112512()99100101102．因为111141012()1299100101102992．故与M最接近的整数为25．故选D．2．（2020•九江二模）已知01ab，则下列结论正确的是()A．abbbB．bbabC．abaaD．aaba【答案】B【解析】对于选项A：由指数函数(01)xybb为减函数，且ab，所以abbb，故选项A错误；对于选项B：由幂函数(01)byxb在(0,)上为增函数，且ab，所以bbab，故选项B正确；对于选项C：由指数函数(01)xyaa为减函数，且ab，所以abaa，故选项C错误；对于选项D：由幂函数(01)ayxa在(0,)上为增函数，且ab，所以aaab，故选项D错误；故选B．3．（2020•泉州一模）已知函数1()1xxefxe，0.3(2)af，0.3(0.2)bf，0.3(log2)cf，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．cbaC．bcaD．cab【答案】B【解析】函数12()111xxxefxee，所以()fx是定义域R上的单调增函数，又0.30.30.3210.20log2，所以0.30.30.3(2)(0.2)(log2)fff，所以abc，即cba．故选B．44．（2020•永州三模）已知0.30.4a，0.30.3b，0.40.3c，则()A．acbB．abcC．cabD．bca【答案】B【解析】0.30.40.30.3，即0bc，而0.30.30.44()()10.33ab，即ab，abc，故选B．5．（2020•临汾模拟）若0mn，2mnae，1()2mnbee，mnce，则()A．bacB．acbC．cbaD．bca【答案】A【解析】当0mn时，2mnmnmn，且xye是定义域R上的单调增函数，所以2mnmnee，即ac；又2222mnmnmnmneeeeee，所以21()2mnmneee，即ba；所以bac．故选A．6．（2020•涪城区校级模拟）若0.60.5a，0.50.6b，0.52c，则下列结论正确的是()A．bcaB．cabC．abcD．cba【答案】D【解析】0.60.50.5000.50.50.60.61，01ab，又0.50221，1c，cba，故选D．7．（2020•市中区校级模拟）已知实数a，b满足11()()122ab，则()5A．11abB．22loglogabC．abD．sinsinab【答案】B【解析】由指数函数的单调性可得：0ab，则：2211,loglog,ababab，sina与sinb的大小无法确定．故选B．8．（2020•平谷区二模）如图，点O为坐标原点，点(1,1)A，若函数(0,1)xyaaa及log(0,1)bxbb的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足()A．1abB．1baC．1baD．1ab【答案】A【解析】由图象可知，函数均为减函数，所以01a，01b，因为点O为坐标原点，点(1,1)A，所以直线OA为yx，因为xya经过点M，则它的反函数logayx也经过点M，又因为log(0,1)bxbb的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，ab，1ab故选A．9．（2020•东城区模拟）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A．10天B．15天C．19天D．2天【答案】C6【解析】设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积2()xyaxN，根据题意，令202(2)2xaa，解得19x，故选C．10．（2020•广西二模）函数||22()xyxxR的图象为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数||22()xyxxR是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B、D．再由0x时，函数值1y，可得图象过点(0,1)，故排除C，从而得到应选A，故选A．11．（2020•山东模拟）已知集合{|2xAyy，0}x，12{|}Bxyx，则(AB)A．[1，)B．(1,)C．(0,)D．[0，)【答案】B【解析】{|2xAyy，0}{|1}xyy，12{|}{|0}Bxyxxx…(1,)AB故选B．12．（2019•镇海区校级模拟）若221mn，则()A．11mnB．1mnC．()0lnmnD．1122loglogmn【答案】B7【解析】若02212mn，0mn，01mn，故B正确；而当12m，14n时，检验可得，A、C、D都不正确，故选B．13．（2019•西湖区校级模拟）函数12(1)xyaa的图象过定点()A．(1,1)B．(1,1)C．(1,1)D．(1,1)【答案】C【解析】对于函数12(1)xyaa，令10x，求得1x，1y，故函数的图象经过定点(1,1)，故选C．14．（2019•西湖区校级模拟）化简1aa得()A．aB．aC．aD．a【答案】B【解析】因为1a有意义，所以0a，所以2aa，所以22111()aaaaaaa，故选B．15．（2019•西湖区校级模拟）函数1()3(0xfxaa且1)a的图象恒过定点()A．(1,2)B．(1,2)C．(1,1)D．(0,2)【答案】A【解析】依题意，由10x得，1x，将1x代入1()3xfxa得，0()32fxa，所以函数1()3(0xfxaa且1)a的图象恒过定点(1.2)，故选A．16．（2019•呼伦贝尔模拟）已知236ab，则a，b不可能满足的关系是()A．ababB．4ab8C．22(1)(1)2abD．228ab【答案】C【解析】236ab，(2)6abb，(3)6baa，26abb，36baa，2366abbaba，（6）6abab，abab，则有2ababab…，ab，2abab，4abab，2222(1)(1)2()222()22ababababab，2228abab，故C错误故选C．17．（2019•天津一模）已知函数1()()2xfx，若0.3(2)af，bf（2），2(log5)cf，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．abcC．cabD．bca【答案】B【解析】根据题意，函数1()()2xfx，则()fx在R上为减函数，又由0.312222log5，则abc；故选B．18．（2019•宜宾模拟）若函数()2(0,1)xmfxanaa的图象恒过点(1,4)，则(mn)A．3B．1C．1D．2【答案】C9【解析】函数()2(0,1)xmfxanaa的图象恒过点(1,4)，10m，且124man，解得1m，2n，1mn，故选C．19．（2019•山东模拟）若abbaee…，则有()A．0ab„B．0ab…C．0ab„D．0ab…【答案】D【解析】解法一：取特殊值排除；当0a，1b时，111e…，成立，排除A，B．当1a，0b，111e…成立，排除C．法二：构造函数利用单调性：令()xxfxe，则()fx是增函数，aabbee…，f（a）()fb…，即0ab…．故选D．20．（2019•西湖区校级模拟）函数2()3(0,1)xfxaaa的图象恒过定点()A．(2,3)B．(3,3)C．(2,2)D．(3,2)【答案】C【解析】令20x，求得2x，2y，可得函数2()3(0,1)xfxaaa的图象恒过定点(2,2)，故选C．21．（2019•西湖区校级模拟）已知函数2()1(0,1)xfxaaa恒过定点(,)Mmn，则函数()xgxnm不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】2()1(0,1)xfxaaa恒过定点(2,2)，2mn，()22xgx，10()gx为减函数，且过点(0,1)，()gx的函数图象不经过第三象限．故选C．22．（2019•西湖区校级模拟）函数21(0xyaa且1)a的图象恒过