20202021学年高考数学考点第九章平面解析几何双曲线理

双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c2a，其中a，c为常数且a0，c0.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)概念方法微思考1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a0，b0，二者没有大小要求，若ab0，a＝b0,0ab，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响．∵e＝ca＝1＋ba2，故当ab0时，1e2；当a＝b0时，e＝2(亦称等轴双曲线)；当0ab时，e2.1．（2020•天津）设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab，过抛物线24yx的焦点和点(0,)b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A．22144xyB．2214yxC．2214xyD．221xy【答案】D【解析】抛物线24yx的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为(1)ybx，双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab的渐近线方程为byxa，C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，bba，()1bba，1a，1b，双曲线C的方程为221xy，故选D．2．（2020•新课标Ⅰ）设1F，2F是双曲线22:13yCx的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP，则△12PFF的面积为()A．72B．3C．52D．2【答案】B【解析】由题意可得1a，3b，2c，12||24FFc，||2OP，121||||2OPFF，△12PFF为直角三角形，12PFPF，22212||||416PFPFc，12||||||22PFPFa，221212||||2||||4PFPFPFPF，12||||6PFPF，△12PFF的面积为121||||32SPFPF，故选B．3．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为5．P是C上一点，且12FPFP．若△12PFF的面积为4，则(a)A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】由题意，设2PFm，1PFn，可得2mna，142mn，2224mnc，5cea，可得224164ca，可得2254aa，解得1a．故选A．4．（2019•全国）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为()A．21B．2C．3D．2【答案】A【解析】设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点为1F，右焦点为2F，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，112||||FMFF，22bca，222caac，2210ee，21e，1e，21e，故选A．5．（2019•新课标Ⅲ）已知F是双曲线22:145xyC的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若||||OPOF，则OPF的面积为()A．32B．52C．72D．92【答案】B【解析】如图，不妨设F为双曲线22:145xyC的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，24a，25b，则223cab，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为229xy．联立22229145xyxy，解得214(3P，5)3．1553232OPFS．故选B．6．（2019•新课标Ⅲ）双曲线22:142xyC的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若||||POPF，则PFO的面积为()A．324B．322C．22D．32【答案】A【解析】双曲线22:142xyC的右焦点为(6F，0)，渐近线方程为：22yx，不妨P在第一象限，可得2tan2POF，6(2P，3)2，所以PFO的面积为：13326224．故选A．7．（2019•浙江）渐近线方程为0xy的双曲线的离心率是()A．22B．1C．2D．2【答案】C【解析】根据渐近线方程为0xy的双曲线，可得ab，所以2ca则该双曲线的离心率为2cea，故选C．8．（2019•北京）已知双曲线2221(0)xyaa的离心率是5，则(a)A．6B．4C．2D．12【答案】D【解析】由双曲线2221(0)xyaa，得21b，又5cea，得225ca，即2222215abaaa，解得214a，12a．故选D．9．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222xya交于P，Q两点．若||||PQOF，则C的离心率为()A．2B．3C．2D．5【答案】A【解析】如图，由||||PQOF，可知PQ过点(2c，0)，由图可得22ac，得2cea．故选A．10．（2019•新课标Ⅰ）双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A．2sin40B．2cos40C．1sin50D．1cos50【答案】D【解析】双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为byxa，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130，得tan130tan50ba，则sin50tan50cos50ba，2222222222501115050bcacsinaaacoscos，得22150ecos，1cos50e．故选D．11．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为()A．22139xyB．22193xyC．221412xyD．221124xy【答案】A【解析】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线byxa，即0bxay，(,0)Fc，ACCD，BDCD，FECD，ACDB是梯形，F是AB的中点，1232ddEF，22bcEFbab，所以3b，双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，可得2ca，可得：2224aba，解得3a．则双曲线的方程为：22139xy．故选A．12．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为()A．221412xyB．221124xyC．22139xyD．22193xy【答案】C【解析】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线byxa，即0bxay，(,0)Fc，ACCD，BDCD，FECD，ACDB是梯形，F是AB的中点，1232ddEF，22bcEFbab，所以3b，双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，可得2ca，可得：2224aba，解得3a．则双曲线的方程为：22139xy．故选C．13．（2018•浙江）双曲线2213xy的焦点坐标是()A．(2，0)，(2，0)B．(2,0)，(2,0)C．(0,2)，(0,2)D．(0,2)，(0,2)【答案】B【解析】双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且23a，21b，由此可得222cab，该双曲线的焦点坐标为(2,0)故选B．14．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A．2B．2C．322D．22【答案】D【解析】双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为2，可得2ca，即：2222aba，解得ab，双曲线2222:1(0)xyCabab的渐近线方程为：yx，点(4,0)到C的渐近线的距离为：|4|222．故选D．15．（2018•新课标Ⅲ）设1F，2F是双曲线2222:1(0xyCaab．0)b的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1||6||PFOP，则C的离心率为()A．5B．2C．3D．2【答案】C【解析】双曲线2222:1(0xyCaab．0)b的一条渐近线方程为byxa，点2F到渐近线的距离22bcdbab，即2||PFb，222222||||||OPOFPFcba，2cosbPFOc，1||6||PFOP，1||6PFa，在三角形12FPF中，由余弦定理可得22212122122||||||2||||PFPFFFPFFFCOSPFO，2222222264224343()babcbccbccac，即223ac，即3ac，3cea，故选C．16．（2018•新课标Ⅱ）双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为()A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx【答案】A【解析】双曲线的离心率为3cea，则222222()1312bbcacaaaa，即双曲线的渐近线方程为2byxxa，故选A．17．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线22:13xCy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若OMN为直角三角形，则||(MN)A．32B．3C．23D．4【答案】B【解析】双曲线22:13xCy的渐近线方程为：33yx，渐近线的夹角为：60，不妨设过(2,0)F的直线为：3(2)yx，则：333(2)yxyx解得3(2M，3)2，333(2)yxyx解得：(3,3)N，则2233||(3)(3)322MN．故选B．18．（2017•全国）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(,0)Fc，直线()ykxc与C的右支有两个交点，则()A．||bkaB．||bkaC．||ckaD．||cka【答案】B【解析】双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为byxa，由直线()ykxc与C的右支有两个交点，且直线经过右焦点F，可得||bka，故选B．19．（20