20202021学年高考数学考点第九章平面解析几何圆的方程理

圆的方程圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F概念方法微思考1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2.1．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】如图示：，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB，A在OB上且1AB，此时距离最小，由5OB，得4OA，即圆心到原点的距离的最小值是4，故选A．2．（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________．【答案】22(1)1xy（或2220)xyx【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆，其圆心为(1,0)，半径为1，则该圆的方程为22(1)1xy．【方法二】设该圆的方程为220xyDxEyF，则042020FDFDEF，解得2D，0EF；所求圆的方程为2220xyx．故答案为：22(1)1xy（或2220)xyx．3．（2017•上海）若P、Q是圆222440xyxy上的动点，则||PQ的最大值为__________．【答案】2【解析】圆222440xyxy，可化为22(1)(2)1xy，P、Q是圆222440xyxy上的动点，||PQ的最大值为2，故答案为2．1．（2020•江西模拟）圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3440xy截得的弦长为6，则圆C的方程为()A．22230xyxB．2216390xxyC．2216390xxyD．2240xyx【答案】B【解析】设圆心为(a，0)(0)a，由题意知圆心到直线3440xy的距离为22|34|5345ad，解得8a，则圆C的方程为22(8)25xy，即为2216390xxy，故选B．2．（2020•西城区模拟）若圆22420xyxya与x轴，y轴均有公共点，则实数a的取值范围是()A．(，1]B．(，0]C．[0，)D．[5，)【答案】A【解析】圆2222420(2)(1)5xyxyaxya；圆心(2,1)，5ra；圆与x，y轴都有公共点；2515150aaaa„剟；故选A．3．（2020•全国Ⅱ卷模拟）已知圆C过点(4,6)，(2,2)，(5,5)，点M，N在圆C上，则CMN面积的最大值为()A．100B．25C．50D．252【答案】D【解析】设圆C的方程为220xyDxEyF，将(4,6)，(2,2)，(5,5)代入可得，52460822050550DEFDEFDEF，解得2D，4E，20F，故圆C的一般方程为2224200xyxy，即22(1)(2)25xy，故CMN的面积1125||||sin55222SCMCNMCN„，故选D．4．（2020•长春三模）已知圆E的圆心在y轴上，且与圆22:20Cxyx的公共弦所在直线的方程为30xy，则圆E的方程为()A．22(3)2xyB．22(3)2xyC．22(3)3xyD．22(3)3xy【答案】C【解析】圆E的圆心在y轴上，设圆心E的坐标为(0,)b，设半径为r，则圆E的方程为：222()xybr，即222220xybybr，又圆C的方程为：2220xyx，两圆方程相加得公共弦所在直线的方程为：2202brxby，又公共弦所在直线的方程为30xy，22302bbr，解得33br，圆E的方程为：22(3)3xy，故选C．5．（2020•怀柔区一模）已知圆C与圆22(1)1xy关于原点对称，则圆C的方程为()A．221xyB．22(1)1xyC．22(1)1xyD．22(1)1xy【答案】D【解析】圆22(1)1xy的圆心坐标为(1,0)，半径为1．点(1,0)关于原点的对称点为(1,0)，则所求圆的方程为22(1)1xy．故选D．6．（2020•郑州二模）圆22(2)(12)4xy关于直线80xy对称的圆的方程为()A．22(3)(2)4xyB．22(4)(6)4xyC．22(4)(6)4xyD．22(6)(4)4xy【答案】C【解析】由圆22(2)(12)4xy可得圆心坐标(2,12)，半径为2，由题意可得关于直线80xy对称的圆的圆心与(2,12)关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为(,)ab则21280221212abba解得：4a，6b，故圆的方程为：22(4)(6)4xy，故选C．7．（2020•西城区一模）设(2,1)A，(4,1)B，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．22(3)2xyB．22(3)8xyC．22(3)2xyD．22(3)8xy【答案】A【解析】弦长22(42)(11)22AB，所以半径为2，中点坐标(3,0)，所以圆的方程22(3)2xy，故选A．8．（2020•拉萨二模）圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．22(2)(1)1xyB．22(2)(1)1xyC．22(2)(1)5xyD．22(2)(1)5xy【答案】A【解析】圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的的方程是22(2)(1)1xy，故选A．9．（2020•绵阳模拟）已知圆22:6890Cxyxy，点M，N在圆C上，平面上一动点P满足||||PMPN且PMPN，则||PC的最大值为()A．8B．82C．4D．42【答案】D【解析】根据题意，若平面上一动点P满足||||PMPN，又由||||CMCN，则PC为线段MN的垂直平分线，设MN的中点为G，||NGn，||CGm，又由||||PMPN且PMPN，则PMN为等腰直角三角形，故||||PGNGn，圆22:6890Cxyxy，即22(3)(4)16xy，则2216mn，则22222||()()216216()42PCmnmnmnmnmnmn„，当且仅当mn时等号成立，故||PC的最大值为42，故选D．10．（2020•绵阳模拟）已知圆22:280Cxyx，直线l经过点(2,2)M，且将圆C及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l的方程为()A．220xyB．260xyC．220xyD．260xy【答案】D【解析】如图所示：圆22:280Cxyx，化为标准方程为：22(1)9xy，圆心(1,0)C，当直线l与CM垂直时，直线l分圆C的两部分的面积之差的绝对值最大，20221CMk，直线l的斜率12k，直线l的方程为：12(2)2yx，即260xy，故选D．11．（2020•和平区校级二模）已知圆C的圆心在直线230xy上，且过点(2,3)A，(2,5)B，则圆C的标准方程为__________．【答案】22(1)(2)10xy【解析】根据题意，圆C的圆心在直线230xy上，设圆心的坐标为(23,)tt，圆C经过点(2,3)A，(2,5)B，则有2222(232)(3)(232)(5)tttt，解可得2t，则231t，即圆心C的坐标为(1,2)，圆的半径为r，则2222||(12)(23)10rCA，故圆C的标准方程为22(1)(2)10xy；故答案为：22(1)(2)10xy．12．（2020•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线:3230lxy与圆22:4Cxy的两个交点．当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为__________．【答案】2233()()122xy【解析】根据题意，直线:3230lxy与圆22:4Cxy相交，设其交点为A、B，则有2232304xyxy，联立解可得：31xy或02xy，即A、B的坐标为(3，1)和(0,2)；当AB为圆M的直径时，圆M的面积最小，此时圆M的圆心3(2M，3)2，半径1||12rAB；则此时圆M的标准方程为：2233()()122xy；故答案为：2233()()122xy．13．（2020•河东区一模）已知圆O过点(0,0)A、(0,4)B、(1,1)C，点(3,4)D到圆O上的点最小距离为__________．【答案】5【解析】设圆O的方程为220xydxeyf，圆O过点(0,0)A、(0,4)B、(1,1)C，0016040110fefdef，求得240def，故圆的方程为22240xyxy，即22(1)(2)5xy，表示圆心为(1,2)、半径为5的圆．22||(31)(42)25DO，故点(3,4)D到圆O上的点最小距离为2555，故答案为：5．14．（2020•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知过点(10,0)的圆M与圆22660xyxy相切于原点，则圆M的半径是__________．【答案】52【解析】圆22660xyxy化为22(3)(3)18xy，圆心坐标为(3,3)，半径为32．如图，所求的圆与圆22660xyxy相切于原点，两圆圆心的连线在直线yx上，可设所求圆的圆心为(,)aa，则2222(10)aaaa，解得5a，所求圆M的半径为52．故答案为：52．15．（2020•滨海新区模拟）以点(1,0)C为圆心，且被y轴截得的弦长为2的圆的方程为__________．【答案】22(1)2xy【解析】如图，圆的半径为22112r．又圆心为(1,0)，所求圆的方程为22(1)2xy．故答案为：22(1)2xy．16．（2020•东城区一模）圆心在x轴上，且与直线1:lyx和2:2lyx都相切的圆的方程为__________．【答案】221(1)2xy【解析】设所求圆的方程为222()xayr，因为圆与直线1:lyx和2:2lyx都相切，则|||2|1111aar，解得1a，22r，所以圆的方程为221(1)2xy．故答案为：221(1)2xy．17．（2020•河西区一模）已知圆C的圆心在第一象限，且在直线2yx