20202021学年高考数学考点第九章平面解析几何抛物线理

抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径x0＋p2－x0＋p2y0＋p2－y0＋p2通径长2p概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．1．（2020•新课标Ⅰ）已知A为抛物线2:2(0)Cypxp上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则(p)A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】A为抛物线2:2(0)Cypxp上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：91262pp；故选C．2．（2020•北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线()A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP【答案】B【解析】不妨设抛物线的方程为24yx，则(1,0)F，准线为l为1x，不妨设(1,2)P，(1,2)Q，设准线为l与x轴交点为A，则(1,0)A，可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，故选B．3．（2020•浙江）已知点(0,0)O，(2,0)A，(2,0)B．设点P满足||||2PAPB，且P为函数234yx图象上的点，则||(OP)A．222B．4105C．7D．10【答案】D【解析】点O(0,0)，(2,0)A，B(2,0)．设点P满足||||2PAPB，可知P的轨迹是双曲线22113xy的右支上的点，P为函数234yx图象上的点，即221364yx在第一象限的点，联立两个方程，解得13(2P，33)2，所以1327||1044OP．故选D．4．（2019•天津）已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l．若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||(ABOFO为原点），则双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．5【答案】D【解析】抛物线24yx的焦点为F，准线为l．(1,0)F，准线l的方程为1x，l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||(ABOFO为原点），2||bABa，||1OF，24ba，2ba，225caba，双曲线的离心率为5cea．故选D．5．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线22(0)ypxp的焦点是椭圆2213xypp的一个焦点，则(p)A．2B．3C．4D．8【答案】D【解析】由题意可得：23()2ppp，解得8p．故选D．6．（2018•全国）过抛物线22yx的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则(OMON)A．34B．14C．14D．34【答案】D【解析】22yx的焦点坐标是1(2，0)，则过焦点且垂直x轴的直线是12x，代入22yx得1y，故1(2OMON，1131)(,1)1244．故选D．7．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点(2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则(FMFN)A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】抛物线2:4Cyx的焦点为(1,0)F，过点(2,0)且斜率为23的直线为：324yx，联立直线与抛物线2:4Cyx，消去x可得：2680yy，解得12y，24y，不妨(1,2)M，(4,4)N，(0,2)FM，(3,4)FN．则(0FMFN，2)(3，4)8．故选D．8．（2017•新课标Ⅰ）已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，过F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D、E两点，则||||ABDE的最小值为()A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】方法一：如图，12ll，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D、E两点，由图象知要使||||ABDE最小，则A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线2l过点(1,0)，则直线2l的方程为1yx，联立方程组241yxyx，则2440yy，124yy，124yy，1221||1||2328DEyyk，||||ABDE的最小值为2||16DE，方法二：设直线1l的倾斜角为，则2l的倾斜角为2，根据焦点弦长公式可得2224||pABsinsin222224||()2ppDEcoscossin2222244416||||2ABDEsincossincossin，20sin21„，当45时，||||ABDE的最小，最小为16，故选A．9．（2020•海南）斜率为3的直线过抛物线2:4Cyx的焦点，且与C交于A，B两点，则||AB__________．【答案】163【解析】由题意可得抛物线焦点(1,0)F，直线l的方程为3(1)yx，代入24yx并化简得231030xx，设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则12103xx；121xx，由抛物线的定义可得121016||233ABxxp．故答案为：163．10．（2019•上海）过曲线24yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线24yx交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，(2)OMOAOB，则__________．【答案】3【解析】过24yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与24yx交于A，B，A在B上方，依题意：得到：(1A，2)(1B，2)，设点(,)Mxy，所以：M为抛物线上一点，(2)OMOAOB，则：(x，)(1y，2)(2)(1，2)(22，4)，代入24yx，得到：3．故答案为：311．（2019•北京）设抛物线24yx的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】22(1)4xy【解析】如图，抛物线24yx的焦点为(1,0)F，所求圆的圆心F，且与准线1x相切，圆的半径为2．则所求圆的方程为22(1)4xy．故答案为：22(1)4xy．12．（2018•北京）已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线24yax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】直线l过点(1,0)且垂直于x轴，1x，代入到24yax，可得24ya，显然0a，2ya，l被抛物线24yax截得的线段长为4，44a，解得1a，24yx，抛物线的焦点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)．13．（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线2:8Cyx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则||FN__________．【答案】6【解析】抛物线2:8Cyx的焦点(2,0)F，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：22，22||2||2(12)(220)6FNFM．故答案为：6．14．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2xCy，D为直线12y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【解析】（1）设1(,)2Dt，1(Ax，1)y，则2112xy，由于yx，切线DA的斜率为1x，故11112yxxt，整理得：112210txy．设2(Bx，2)y，同理可得222210txy．故直线AB的方程为2210txy．直线AB过定点1(0,)2；（2）解：由（1）得直线AB的方程12ytx．由2122ytxxy，可得2210xtx．于是21212122,()121xxtyytxxt．设M为线段AB的中点，则21(,)2Mtt，由于EMAB，而2(,2)EMtt，AB与向量(1,)t平行，2(2)0ttt，解得0t或1t．当0t时，||2EM，所求圆的方程为225()42xy；当1t时，||2EM，所求圆的方程为225()22xy．15．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2xCy，D为直线12y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．【答案】【解析】（1）证明：22xy的导数为yx，设切点1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，即有2112xy，2222xy，切线DA的方程为111()yyxxx，即为2112xyxx，切线DB的方程为2222xyxx，联立两切线方程可得121()2xxx，可得121122yxx，即121xx，直线AB的方程为2112112()2xyyyxxxx，即为211211()()22xyxxxx，可化为1211()22yxxx，可得AB恒过定点1(0,)2；（2）法一：设直线AB的方程为12ykx，由（1）可得122xxk，121xx，AB中点21(,)2Hkk，由H为切点可得E到直线AB的距离即为||EH，可得222215||22(2)1kkk，解得0k或1k，即有直线AB的方程为12y或12yx，由12y可得||2AB，四边形ADBE的面积为12(12)32ABEABDSS；由12yx，可得||11444AB，此时1(1,)2D到直线AB的距离为11|1|2222；5(0,)2E到直线AB的距离为15||2222，则四边形ADBE的面积为14(22)422ABEABDSS；法二：（2）由（1）得直线AB的方程为12ytx．由2122ytxxy，可得2210xtx．于是122xxt，121xx，21212()121yytxxt，2222121212||1||1()42(1)ABtxxtxxxxt．设1d，2d分别为点D，E到直线AB的距离，则211dt，2221dt．因此，四边形ADBE的面积22121||()(3)12SABddtt．设M为线段AB的中点，则21(,)2Mtt．由于EMAB，而2(,2)EMtt，AB与向量(1,)t平行，所以2(2)0ttt．解得0t或1t．当0t时，3S；当1t时，42S．综上，四边形ADBE的面积为3或42