20202021学年高考数学考点第九章平面解析几何曲线与方程理

曲线与方程1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1.方程y＝x与x＝y2表示同一曲线吗？提示不是同一曲线.2.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.1．（2019•北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||Cxyxy就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【解析】将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，当0x时，代入得21y，1y，即曲线经过(0,1)，(0,1)；当0x时，方程变为2210yxyx，所以△224(1)0xx…，解得(0x，23]3，所以x只能取整数1，当1x时，20yy，解得0y或1y，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x时，由221xyxy得222212xyxyxy„，（当xy时取等），222xy„，222xy„，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x轴上图形面积大于矩形面积122，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故③错误．故选C．2．（2020•山东）已知曲线22:1Cmxny．()A．若0mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若0mn，则C是圆，其半径为nC．若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程为myxnD．若0m，0n，则C是两条直线【答案】ACD【解析】A．若0mn，则11mn，则根据椭圆定义，知22111xymn表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B．若0mn，则方程为221xyn，表示半径为1n的圆，故B错误；C．若0m，0n，则方程为22111xymn，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为myxn，若0m，0n，则方程为22111xymn，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为myxn，故C正确；D．当0m，0n时，则方程为1yn表示两条直线，故D正确；故选ACD．3．（2018•上海）已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为__________．【答案】22143xy【解析】平面上动点P到两个定点(1,0)和(1,0)的距离之和等于4，满足椭圆的定义，可得1c，2a，则3b，动点P的轨迹方程为：22143xy．故答案为：22143xy．1．（2020•静安区二模）方程222980xxyy的曲线C所满足的性质为()①不经过第二、四象限；②关于x轴对称；③关于原点对称；④关于直线yx对称．A．①③B．②③C．①④D．①②【答案】A【解析】由题意，222980xxyy化为：229280xyxy…，说明x，y同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限；①正确．y换y，方程发生改变，所以图形不关于x轴对称，所以②不正确；以x代替x，以y代替y，方程不变，所以③正确；方程222980xxyy，x，y互换，方程化为：228920xxyy，方程已经改变；所以④不正确；故选A．2．（2020•宁德模拟）方程：222(1)(3)()xxxxyee的曲线有下列说法：①该曲线关于2x对称；②该曲线关于点(2,1)对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是()A．②③B．①④C．②④D．①③【答案】D【解析】将方程222(1)(3)()xxxxyee整理可得222(1)(3)xxxxyee，令()yfx将x换成4x时，即(4)22(4)222[(4)1][(4)3]2(3)(1)(4)xxxxxxxxfxeeee，所以()(4)fxfx，所以曲线关于2x对称，所以①正确，②不正确；当0x时，()0fx，所以该曲线不经过第三象限，故③正确，曲线过的整数点(1,0)，(3，0)(2，1)三个整数点，故④不正确，故选D．3．（2020•吴兴区校级模拟）已知()(2)1xyxy且0y，则xy的取值范围为()A．(，1)(2，)B．(，2)(1，)C．1(,)(2,)2D．1(,)(2,)2【答案】A【解析】令xty，则xty，由()(2)1xyxy，得(1)(2)1tyty，即22(2)10tty，则22102ytt，即220tt，解得1t或2t．xy的取值范围为(，1)(2，)．故选A．4．（2020•麒麟区校级二模）已知点(3,0)A，(0,3)B，若点P在曲线21yx上运动，则PAB面积的最小值为()A．6B．93222C．3D．93222【答案】C【解析】依题意，||9932AB，直线AB的方程为30xy，曲线21yx表示单位圆221xy的下半部分，要使PAB面积的最小，则需点P到直线AB的距离最小，不妨设(cosP，sin)(2)剟，点P到直线AB的距离为|2cos()3||cossin3|422d，2剟，2cos()124剟，22cos()3234剟，12()32322PABminS．故选C．5．（2019•西城区一模）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422xy围成的平面区域的直径为()A．432B．3C．22D．4【答案】B【解析】曲线422xy围成的平面区域，关于x，y轴对称，设曲线上的点(,)Pxy，可得2222913||()422OPxyx„．所以曲线422xy围成的平面区域的直径为：3．故选B．6．（2019•闵行区校级模拟）方程2||13(2)yx所表示的曲线的长度是()A．6B．23C．2343D．612【答案】B【解析】方程2||13(2)yx，可得||10y…，即有1y…或1y„，即有22(2)(||1)3xy，作出方程2||13(2)yx所表示的曲线，可得曲线为两个半圆，半径均为3，可得表示曲线的长度为23．故选B．7．（2019•西湖区校级模拟）方程22(2)(2)0xyxxy表示的曲线是()A．一个圆和一条射线B．一个圆和一条直线C．一个圆D．一条直线【答案】B【解析】方程22(2)(2)0xyxxy等价于20xy或2220xyx，①在直角坐标系中，方程20xy图象为一条直线，②2220xyx，配方得22(1)1xy，方程表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，故22(2)(2)0xyxxy表示一条直线和一个圆，故选B．8．（2019•西湖区校级模拟）方程22xxyx所表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．抛物线【答案】C【解析】22xxyx，(2)0xxy即0x或20xy．方程22xxyx所表示的曲线是两条直线．故选C．9．（2019•黄浦区一模）如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是()A．22(||1)(1)0xyxyB．(||1xy22)(1)0xyC．22(||1)(1)0xyxyD．(||1xy22)(1)0xy【答案】C【解析】如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A等价于||10xy或2210xy，表示折线||1yx的全部和双曲线，故错误；选项B等价于22||1010xyxy…，或||10xy，||10xy表示折线||1yx的全部，故错误；选项C等价于22||1010xyxy…或2210xy，22||1010xyxy…表示折线||1yx在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，2210xy表示双曲线，符合题中图象，故正确；选项D等价于22||1010xyxy…或22||1010xyxy…，22||1010xyxy…表示表示折线||1yx在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，22||1010xyxy…表示双曲线在x轴下方的一部分，故错误．故选C．10．（2020•河南模拟）曲线2:2(0)Cypxp与曲线22:32Exy交于A、B两点，O为原点，90AOB．（1）求p；（2）曲线C上一点M的纵坐标为2，过点M作直线1l、2l，1l、2l的斜率分别为1k、2k，122kk，1l、2l分别交曲线C于异于M的不同点N，P，证明：直线NP恒过定点．【解析】（1）由对称性可知：A、B关于x轴对称，可设(,)Aaa，0a，则222apaap，把(2,2)App代入曲线C得：22(2)(2)322ppp；（2）证明：由（1）得曲线C的方程为24yx，即有(1,2)M，设1(Nx，1)y，2(Px，2)y，则11121112241214yykyxy，同理2242ky，12121244224(*)22kkyyyy，若直线NP斜率为0，直线NP的方程设为0yt，代入曲线C，仅有一解，不合题意，舍去；当m存在时，设直线NP的方程设为xmyt，把xmyt代入24yx整理得：224()440ymytymyt，且216160mt，得121244yymyyt，代入(*)式，得：441tt，故直线NP的方程为1xmy，可得直线NP恒过定点(1,0)．11．（2020•长春三模）已知点(0,1)A，点B在y轴负半轴上，以AB为边做菱形ABCD，且菱形ABCD对角线的交点在x轴上，设点D的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点(,0)Mm，其中14m，作曲线E的切线，设切点为N，求AMN面积的取值范围．【解析】（Ⅰ）设(0B，)(0)tt，菱形ABCD的中心在x轴上，设为Q点．由题意可知，2OQOAOB，则(,0)Qt，又Q为BD的中点，因此点(2,)Dtt即点D的轨迹为2(xttyt为参数且0)t，化为标准方程24(0)xyx．（Ⅱ）设点2(,)4aNa，过点N的切线方程为：2()42aayxa，点(,0)Mm在该切线方程上，(,0)2aM，即2am，由14m，可得28a，2,,12MNAMMNAMakkkka又则，即NMAM，2222211(4)()()1()2224216aaaaaSMNAM，可知当28a时，S为关于a的增函数，因此S的取值范围是(1,34)．12．（2020•邵阳一模）半圆22:1(0)Oxyy…的直径两端点为(1,0)A，(1,0)B，点P在半圆O及直径AB