20202021学年高考数学考点第九章平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系理

直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要)dr⇔相交；d＝r⇔相切；dr⇔相离．(2)代数法：――――→判别式Δ＝b2－4ac0⇔相交＝0⇔相切0⇔相离2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解概念方法微思考1．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况．1．（2020•新课标Ⅱ）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy的距离为()A．55B．255C．355D．455【答案】B【解析】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(,)aa，则半径为a，0a．故圆的方程为222()()xayaa，再把点(2,1)代入，求得5a或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25xy或22(1)(1)1xy．故所求圆的圆心为(5,5)或(1,1)；故圆心到直线230xy的距离22|2553|25521d或22|2113|25521d；故选B．2．（2020•新课标Ⅰ）已知圆2260xyx，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C，半径3r；设圆心到直线的距离为d，则过(1,2)D的直线与圆的相交弦长22||2ABrd，当d最大时弦长||AB最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时22||(31)(20)22dCD，所以最小的弦长22||23(22)2AB，故选B．3．（2020•新课标Ⅰ）已知22:2220Mxyxy，直线:220lxy，P为l上的动点．过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为()A．210xyB．210xyC．210xyD．210xy【答案】D【解析】化圆M为22(1)(1)4xy，圆心(1,1)M，半径2r．21222||42PAMPAMBSPMABSPAAMPAPM四边形．要使||||PMAB最小，则需||PM最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为11(1)2yx，即1122yx，联立1122220yxxy，解得(1,0)P．则以PM为直径的圆的方程为2215()24xy．联立2222222010xyxyxyy，相减可得直线AB的方程为210xy．故选D．4．（2019•全国）若直线5x与圆2260xyxa相切，则(a)A．13B．5C．5D．13【答案】B【解析】根据题意，圆2260xyxa即22(3)9xya，其圆心为(3,0)，半径9ra，若直线5x与圆2260xyxa相切，则圆的半径532r，则有92a，解可得：5a；故选B．5．（2018•新课标Ⅲ）直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆22(2)2xy上，则ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]【答案】A【解析】直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，令0x，得2y，令0y，得2x，(2,0)A，(0,2)B，||4422AB，点P在圆22(2)2xy上，设(22cosP，2sin)，点P到直线20xy的距离：|2sin()4||22cos2sin2|422d，sin()[14，1]，|2sin()4|4[2,32]2d，ABP面积的取值范围是：1[2222，12232][22，6]．故选A．6．（2020•天津）已知直线380xy和圆222(0)xyrr相交于A，B两点．若||6AB，则r的值为__________．【答案】5【解析】根据题意，圆222xyr的圆心为(0,0)，半径为r；则圆心到直线380xy的距离8413d，若||6AB，则有222||()169252ABrd，故5r；故答案为：5．7．（2020•浙江）已知直线(0)ykxbk与圆221xy和圆22(4)1xy均相切，则k__________，b__________．【答案】33；233【解析】由条件得1(0,0)C，11r，2(4,0)C，21r，因为直线l与1C，2C都相切，故有12||11bdk，22|4|11kbdk，则有22|||4|11bkbkk，故可得22(4)bkb，整理得(2)0kkb，因为0k，所以20kb，即2bk，代入12||11bdk，解得33k，则233b，故答案为：33；233．8．（2019•浙江）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r．若直线230xy与圆C相切于点(2,1)A，则m__________，r__________．【答案】2，5【解析】如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m，解得2m．圆心为(0,2)，则半径22(20)(12)5r．故答案为：2，5．9．（2018•天津）已知圆2220xyx的圆心为C，直线212232xtyt，(t为参数）与该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为__________．【答案】12【解析】圆2220xyx化为标准方程是22(1)1xy，圆心为(1,0)C，半径1r；直线212232xtyt化为普通方程是20xy，则圆心C到该直线的距离为|102|222d，弦长2212||2212222ABrd，ABC的面积为1121||22222SABd．故答案为：12．10．（2018•新课标Ⅰ）直线1yx与圆22230xyy交于A，B两点，则||AB__________．【答案】22【解析】圆22230xyy的圆心(0,1)，半径为：2，圆心到直线的距离为：|011|22，所以22||22(2)22AB．故答案为：22．11．（2018•上海）如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动．同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为__________秒（精确到0.1)【答案】4.4【解析】以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可设(10,101.5)Pt，(10,10)Qt，可得直线PQ的方程为202.510(10)20tytx，圆O的方程为221xy，由直线PQ与圆O有交点，可得22.520|10|21202.51()20ttt„，化为23161280tt„，解得87803t剟，即有点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒．故答案为：4.4．12．（2017•全国）直线320xy被圆2220xyx截得的线段长为__________．【答案】3【解析】圆2220xyx化为22(1)1xy，设直线320xy与圆22(1)1xy的交点为A、B，圆心为(1,0)O，线段AB的中点为D，半径为1r则由圆的几何性质可知，ODAB，且2|1302|1||21(3)OD，||1OAr，2221||2||221()32ABADOAOD．故答案为：3．13．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，||4AB，M过点A，B且与直线20x相切．（1）若A在直线0xy上，求M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，||||MAMP为定值？并说明理由．【解析】M过点A，B且A在直线0xy上，点M在线段AB的中垂线0xy上，设M的方程为：222()()(0)xayaRR，则圆心(,)Maa到直线0xy的距离|2|2ad，又||4AB，在RtOMB中，2221(||)2dABR，即22|2|()42aR①又M与2x相切，|2|aR②由①②解得02aR或46aR，M的半径为2或6；（2）线段AB为M的一条弦O是弦AB的中点，圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为(,)xy，则222||||||OMOAMA，M与直线20x相切，|||2|MAx，22222|2|||||4xOMOAxy，24yx，M的轨迹是以(1,0)F为焦点1x为准线的抛物线，|||||2|||MAMPxMP|1|||1||||1xMPMFMP，当||||MAMP为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为(1,0)，存在定点(1,0)P使得当A运动时，||||MAMP为定值．14．（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥(ABAB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和(BDC，D为垂足），测得10AB，6AC，12BD（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．【解析】设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AMBM，即有6DMAC，6BM，8AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则(0,6)A，(8,12)B，(8,0)D（1）设点1(Px，0)，PBAB，则1BPABkk，即10(12)6(12)1(8)0(8)x，解得117x，所以(17,0)P，22(178)(012)15PB；（2）当QAAB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时2(Qx，0)，则1QAABkk，即20(6)6(12)100(8)x，解得292x，9(2Q，0)，由91782，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设(,0)Pa，(,0)Qb，由（1）（2）可得17a„，92b…，由两点的距离公式可得22(8)144225PBa…，当且仅当17a时，||dPB